Predpoklady: BIT Daných 'n' úsečiek je každý z nich buď horizontálny alebo vertikálny, nájdite maximálny počet trojuholníkov (vrátane trojuholníkov s nulovou plochou), ktoré možno vytvoriť spojením priesečníkov úsečiek. Žiadne dva horizontálne úsečky sa neprekrývajú ani dva zvislé úsečky. Čiara je znázornená pomocou dvoch bodov (štyri celé čísla, prvé dve sú súradnice x a y pre prvý bod a ďalšie dve sú súradnice x a y pre druhý bod) Príklady:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Myšlienka je založená na Algoritmus Sweep Line . Vytvorenie riešenia v krokoch:
- Uložte oba body všetkých úsečiek so zodpovedajúcou udalosťou (popísanou nižšie) do vektora a zoraďte všetky body v neklesajúcom poradí podľa ich súradníc x.
- Predstavme si teraz zvislú čiaru, ktorú prejdeme cez všetky tieto body a popíšeme 3 udalosti na základe toho, v ktorom bode sa práve nachádzame:
- a vertikálna čiara
- Voláme región 'aktívny' alebo vodorovné čiary 'aktívny' ktoré mali prvú udalosť, ale nie druhú. Budeme mať BIT (Binárny indexovaný strom) na uloženie súradníc 'y' všetkých aktívnych riadkov.
- Keď sa riadok stane neaktívnym, odstránime jeho „y“ z BIT.
- Keď nastane udalosť tretieho typu, teda keď sme na zvislej čiare, dopytujeme strom v rozsahu jeho súradníc 'y' a výsledok pripočítame k počtu doterajších priesečníkov.
- Nakoniec si povieme počet priesečníkov m potom bude počet trojuholníkov (vrátane nulovej plochy). mC3 .
v - krajný ľavý bod segmentu vodorovnej čiaryvon - krajný pravý bod vodorovného úsečkyPoznámka: Musíme starostlivo triediť body pohľad na cmp() funkciu pri implementácii na objasnenie.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } výstup:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Pomocný priestor: O(maxy), kde maxy = 1000005