Trieda ekvivalencie sú skupinou prvkov množiny založenej na špecifickom pojme ekvivalencie definovanej vzťahom ekvivalencie. Vzťah ekvivalencie je vzťah, ktorý spĺňa tri vlastnosti: reflexivitu, symetriu a tranzitivitu. Triedy ekvivalencie rozdeľujú množinu S na disjunktné podmnožiny. Každá podmnožina pozostáva z prvkov, ktoré spolu súvisia v rámci daného vzťahu ekvivalencie.

V tomto článku dostatočne podrobne rozoberieme koncept triedy ekvivalencie vrátane jej definície, príkladu, vlastností, ako aj riešených príkladov.

Obsah

• Čo sú triedy ekvivalencie?
• Príklady triedy ekvivalencie
• Vlastnosti tried ekvivalencie
• Triedy ekvivalencie a rozdelenie

Čo sú triedy ekvivalencie?

Trieda ekvivalencie je názov, ktorý dávame podmnožine S, ktorá zahŕňa všetky prvky, ktoré sú navzájom ekvivalentné. Ekvivalent je závislý na špecifikovanom vzťahu, ktorý sa nazýva vzťah ekvivalencie. Ak medzi akýmikoľvek dvoma prvkami existuje vzťah ekvivalencie, nazývajú sa ekvivalentné.

Definícia triedy ekvivalencie

Vzhľadom na vzťah ekvivalencie na množine S je trieda ekvivalencie vzhľadom na prvok a v S množinou všetkých prvkov v S, ktoré súvisia s a t.j.

[a] ALEBO x súvisí s a

Uvažujme napríklad množinu celých čísel ℤ a vzťah ekvivalencie definovaný kongruenciou modulo n. Dve celé čísla a a b sa považujú za ekvivalentné (označené ako (a ≡ b mod(n), ak majú rovnaký zvyšok pri delení číslom n. V tomto prípade je trieda ekvivalencie celého čísla a množinou všetkých celých čísel, ktoré majú rovnaký zvyšok ako a pri delení n.

hrubá bodka

Čo je to vzťah ekvivalencie?

Akýkoľvek vzťah R sa považuje za ekvivalentný vzťah vtedy a len vtedy, ak spĺňa tieto tri podmienky:

• Reflexivita: Pre každý prvok a, a súvisí sám so sebou.
• Symetria: Ak a súvisí s b, potom b súvisí s a.
• Prechodnosť: Ak a súvisí s b a b súvisí s c, potom a súvisí s c.

Prečítajte si viac o Vzťah ekvivalencie .

Niektoré príklady vzťahu ekvivalencie sú:

Rovnosť na súprave: Nech X je ľubovoľná množina a definujte vzťah R na X tak, že a R b vtedy a len vtedy, ak a = b pre a, b ϵ X.

• Reflexivita: Za každý a ϵ X, a = a (triviálne pravda).
• Symetria: Ak a = b, potom b = a (triviálne pravda).
• Prechodnosť: Ak a = b a b = c, potom a = c (triviálne pravda).

Modul zhody n: Nech n je kladné celé číslo a definujte vzťah R na celých číslach ℤ tak, že a R b práve vtedy, ak a – b je deliteľné číslom n.

• Reflexivita: Za každý a ϵ ℤ, a – a = 0 je deliteľné n.
• Symetria: Ak a – b je deliteľné n, potom -(a – b) = b – a je deliteľné aj n.
• Prechodnosť: Ak a – b je deliteľné n a b – c je deliteľné n, potom a – c je deliteľné aj n.

Príklady triedy ekvivalencie

Známym príkladom vzťahu ekvivalencie je vzťah rovná sa (=). Inými slovami, dva prvky danej množiny sú navzájom ekvivalentné, ak patria do rovnakej triedy ekvivalencie. Vzťahy ekvivalencie možno vysvetliť pomocou nasledujúcich príkladov:

Vzťah ekvivalencie na celých číslach

Vzťah ekvivalencie: Kongruencia modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

• Trieda ekvivalencie 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
• Trieda ekvivalencie 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
• Trieda ekvivalencie 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
• Trieda ekvivalencie 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
• Trieda ekvivalencie 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Vzťah ekvivalencie na reálnych číslach

Vzťah ekvivalencie: Absolútny rozdiel (a ~ b ak |a – b| <1)

• Trieda ekvivalencie 0: [0] = (-0,5, 0,5)
• Trieda ekvivalencie 1: [1] = (0,5; 1,5)
• Trieda ekvivalencie 2: [2] = (1,5; 2,5)
• Trieda ekvivalencie 3: [3] = (2,5, 3,5)

Čítaj viac,

• Skutočné čísla
• Celé čísla
• Racionálne čísla

Vlastnosti tried ekvivalencie

Vlastnosti tried ekvivalencie sú:

• Každý prvok patrí presne do jednej triedy ekvivalencie.
• Triedy ekvivalencie sú disjunktné, t. j. priesečník ľubovoľných dvoch tried ekvivalencie má nulovú množinu.
• Zjednotenie všetkých tried ekvivalencie je pôvodná množina.
• Dva prvky sú ekvivalentné vtedy a len vtedy, ak sú ich triedy ekvivalencie rovnaké.

Čítaj viac,

• Union of Sets
• Priesečník množín
• Disjunktné množiny

Triedy ekvivalencie a rozdelenie

Skupiny prvkov v množine súvisiace vzťahom ekvivalencie, zatiaľ čo súbor týchto tried ekvivalencie pokrývajúci celú množinu bez prekrývania sa nazýva oddiel.

Rozdiel medzi triedami ekvivalencie a rozdelením

Kľúčový rozdiel medzi triedami ekvilavalencie a rozdelením je uvedený v nasledujúcej tabuľke:

Vyriešené príklady triedy ekvivalencie

Príklad 1: Dokážte, že vzťah R je ekvivalenčným typom v množine P= { 3, 4, 5,6 } danej vzťahom R = (p, q):.

spracovanie výnimiek v jazyku Java

Riešenie:

Vzhľadom na to: R = (p, q):. Kde p, q patrí P.

Reflexná vlastnosť

Z poskytnutého vzťahu |p – p| = | 0 |=0.

• A 0 je vždy párne.
• Preto |p – p| je párny.
• Preto (p, p) sa týka R

Takže R je reflexívne.

Symetrická vlastnosť

Z daného vzťahu |p – q| = |q – p|.

• Vieme, že |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|
• Preto |p – q| je párny.
• Ďalej |q – p| je tiež párny.
• Ak teda (p, q) ∈ R, potom (q, p) tiež patrí do R.

Preto je R symetrické.

Prechodná vlastnosť

• Ak |p – q| je párne, potom (p-q) je párne.
• Podobne, ak |q-r| je párne, potom (q-r) je tiež párne.
• Súčet párnych čísel je príliš párny.
• Môžeme to teda riešiť tak, že p – q+ q-r je párne.
• Ďalej, p – r je ďalej párne.

v súlade s tým

• |p – q| a |q-r| je párne, potom |p – r| je párny.
• V dôsledku toho, ak (p, q) ∈ R a (q, r) ∈ R, potom (p, r) tiež odkazuje na R.

Preto je R tranzitívne.

Príklad 2: Uvažujme A = {2, 3, 4, 5} a R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

Riešenie:

Dané: A = {2, 3, 4, 5} a

Vzťah R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4 )}.

Aby R bolo vzťahom ekvivalencie, R musí spĺňať tri vlastnosti, t. j. reflexívnu, symetrickú a tranzitívnu.

Reflexívne : Vzťah R je reflexívny, pretože (5, 5), (2, 2), (3, 3) a (4, 4) ∈ R.

Symetrický : Vzťah R je symetrický, ako vždy, keď (a, b) ∈ R, (b, a) tiež súvisí s R, t. j. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.

Tranzitívny : Vzťah R je tranzitívny, ako keď sa (a, b) a (b, c) týkajú R, (a, c) sa týkajú aj R, t.j. (3, 5) ∈ R a (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

V súlade s tým je R reflexívne, symetrické a tranzitívne.

R je teda vzťah ekvivalencie.

Cvičné úlohy na triede ekvivalencie

Problém 1: aRb, ak a+b je párne. Zistite, či ide o vzťah ekvivalencie a jeho vlastnosti.

postorder traversal binárneho stromu

Problém 2: xSy, ak x a y majú rovnaký mesiac narodenia. Analyzujte, či ide o vzťah ekvivalencie.

Problém 3: Zvážte A = {2, 3, 4, 5} a R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3 ), (4, 2), (4, 4)}. Potvrďte, že R je vzťah ekvivalencie.

Problém 4: Dokážte, že vzťah R je ekvivalenčným typom v množine P= { 3, 4, 5,6 } daný vzťahom R = je párny .

Trieda ekvivalencie: Často kladené otázky

1. Čo je to trieda ekvivalencie?

Trieda ekvivalencie je podmnožina v rámci množiny, vytvorená zoskupením všetkých prvkov, ktoré sú si navzájom ekvivalentné v rámci daného vzťahu ekvivalencie. Predstavuje všetkých členov, ktorí sa týmto vzťahom považujú za rovnocenné.

2. Čo je symbol pre triedu ekvivalencie?

Symbol pre triedu ekvivalencie sa zvyčajne píše ako [a], kde a je reprezentatívny prvok triedy. Tento zápis označuje množinu všetkých prvkov ekvivalentných a v rámci špecifického vzťahu ekvivalencie.

3. Ako zistíte triedu ekvivalencie súboru?

Ak chcete nájsť triedu ekvivalencie množiny, postupujte takto:

Krok 1: Definujte vzťah ekvivalencie.

Krok 2: Vyberte prvok zo sady.

Krok 3: Identifikujte ekvivalentné prvky k vybraným prvkom.

Krok 4: Vytvorte triedu ekvivalencie, ktorá obsahuje všetky prvky ekvivalentné vybranému prvku.

4. Aký je rozdiel medzi triedou ekvivalencie a oddielom?

Triedy ekvivalencie sú podmnožiny tvorené vzťahom ekvivalencie, zatiaľ čo oddiely sú neprekrývajúce sa podmnožiny pokrývajúce celú množinu. Každá trieda ekvivalencie je podmnožinou v oddiele, ale nie každý oddiel vzniká zo vzťahu ekvivalencie.

5. Čo je to vzťah ekvivalencie?

Vzťah, ktorý je reflexívny, symetrický a tranzitívny, rozdeľuje množinu na disjunktné podmnožiny.