Doména a rozsah funkcie: Doména a rozsah sú vstupné a výstupné hodnoty funkcie. A funkciu je definovaný ako vzťah medzi množinou vstupov a ich výstupmi, pričom vstup môže mať iba jeden výstup, t. j. doména môže poskytnúť určitý rozsah. Zobrazuje vzťah medzi nezávislou premennou a závislou premennou.

Funkcia sa zvyčajne označuje ako y = f(x), kde x je vstup. Funkcia je vzťah f z množiny X do inej množiny Y, kde každý prvok v X má práve jeden výstup v Y a je reprezentovaný ako f: X→Y. Tu je množina X známa ako doména funkcie a množina Y sa nazýva kodoména funkcie. Každá funkcia má doménu, kódovú doménu a rozsah, ktoré pomáhajú pri definovaní funkcie.

V tomto článku sa dozvieme o doméne a rozsahu funkcie, ako vypočítať doménu a rozsah funkcie, doméne a rozsahu pracovného hárka funkcie, doméne a rozsahu funkcie, príklady, doména a rozsah funkcie funkčný graf a ďalšie podrobne.

Obsah

• Čo je doména a rozsah?
• Intervalový zápis domény a rozsahu
• Co-doména a rozsah
• Doména funkcie
• Ako nájsť doménu funkcie?
• Rozsah funkcie
• Ako nájsť rozsah funkcie?
• Ako nájsť doménu a rozsah
• Príklady domény a rozsahu funkcie
• Kvadratická doména a rozsah
• Doména a rozsah exponenciálnych funkcií
• Doména a rozsah goniometrických funkcií
• Doména a rozsah inverzných goniometrických funkcií
• Doména a rozsah funkcie absolútnej hodnoty
• Doména a rozsah funkcie druhej odmocniny
• Doména a rozsah racionálnej funkcie
• Log Function Domain and Range
• Doména a rozsah funkcie najväčšieho celého čísla
• Doména a rozsah funkčného grafu
• Doména a rozsah pracovného hárka funkcií
• Pracovný list domény a rozsahu PDF
• Problémy s praxou domény a rozsahu
• Vyriešené otázky týkajúce sa domény a rozsahu

Čo je doména a rozsah?

Doména a funkciu je definovaný ako množina všetkých možných hodnôt, pre ktoré môže byť funkcia definovaná. Rozsah je výstup daný funkciou pre konkrétnu doménu. Ko-doména funkcie je množina možných výsledkov, zatiaľ čo rozsah alebo obraz funkcie je podmnožinou kodomény a je množinou obrázkov prvkov v doméne. Napríklad na obrázku nižšie je f(x) = x³je funkcia, ktorej doménou je množina X a jej kodoménou je množina Y, pričom jej rozsah je {1, 8, 27, 64}.

Doména a Vzťah možno nájsť pomocou rovnakých metód. Vzťah je typ funkcie, v ktorej je jeden objekt v oblasti domény mapovaný na viac ako jeden objekt v oblasti rozsahu.

Pre danú funkciu f(x) = x³

• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Doména = {1, 2, 3, 4}
• Co-doména = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• Rozsah = {1, 8, 27, 64}

Intervalový zápis domény a rozsahu

Doménu a rozsah ľubovoľnej funkcie je možné jednoducho zapísať do intervalového zápisu. Predpokladajme, že dostaneme akúkoľvek funkciu f(x) = sin x, potom je jej doména a rozsah napísaný ako,

• Doména f(x) = (-∞, +∞)
• Rozsah f(x) = [-1, 1]

Podobne pomocou intervalový zápis môžeme reprezentovať doménu a rozsah ľubovoľnej funkcie.

Ako napísať doménu a rozsah

Doménu a rozsah ľubovoľnej funkcie možno jednoducho znázorniť pomocou intervalového zápisu, ako je uvedené vyššie. Týmto spôsobom používame zátvorky na opis množiny čísel. Používame {}, [] a () na vyjadrenie domény a rozsahu funkcie.

Co-doména a rozsah

Codomain je množina hodnôt vrátane rozsahu funkcie a môže mať aj ďalšie hodnoty. Rozsah je podmnožina kódovej domény. Toto je vysvetlené na príklade,

Daná funkcia, f(x) = cos x, teda f:R→R

• Kodoména f(x) = R
• Rozsah R = (-1, 1)

Doména funkcie

Oblasť funkcie je definovaná ako množina všetkých možných hodnôt, pre ktoré môže byť funkcia definovaná. Poďme prejsť doménami rôznych funkcií.

• Definičný obor ľubovoľnej polynomickej funkcie, ako je lineárna funkcia, kvadratická funkcia, kubická funkcia atď., je množina všetkých reálnych čísel (R).
• Definičný obor logaritmickej funkcie f(x) = log x je x> 0 alebo (0, ∞).
• Definičný obor funkcie druhej odmocniny f(x) = √x je množina nezáporných reálnych čísel, ktorá je reprezentovaná ako [0, ∞).
• Definičný obor exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel (R).
• Racionálna funkcia je definovaná len pre nenulové hodnoty jej menovateľa. Na určenie oblasti racionálnej funkcie y = f(x) teda nastavte menovateľa ≠ 0.

Pravidlá hľadania domény funkcie

Rôzne pravidlá na nájdenie domény funkcie.

• Oblasť polynomických funkcií (lineárna, kvadratická, kubická atď.) je R (všetky reálne čísla).
• Doména funkcie druhej odmocniny √x je x ≥ 0.
• Doména exponenciálnej funkcie je R.
• Doména logaritmickej funkcie je x> 0.
• Vieme, že definičný obor racionálnej funkcie y = f(x), menovateľ ≠ 0.

Ako nájsť doménu funkcie?

Ak chcete nájsť doménu funkcie, postupujte podľa nasledujúcich krokov:

Krok 1: Najprv skontrolujte, či daná funkcia môže obsahovať všetky reálne čísla.

Krok 2: Potom skontrolujte, či má daná funkcia v menovateli zlomku nenulovú hodnotu a pod menovateľom zlomku nezáporné reálne číslo.

Krok 3: V niektorých prípadoch je doména funkcie vystavená určitým obmedzeniam, t. j. tieto obmedzenia sú hodnoty, pri ktorých daná funkcia nemôže byť definovaná. Napríklad , definičný obor funkcie f(x) = 2x + 1 je množina všetkých reálnych čísel (R), ale definičný obor funkcie f(x) = 1/ (2x + 1) je množina všetkých reálnych čísel. okrem -1/2.

Krok 4: Niekedy sa spolu s funkciou uvádza aj interval, v ktorom je funkcia definovaná. Napríklad, f (x) = 2x²+3, -5

Po vykonaní všetkých vyššie uvedených krokov sa množina čísel, ktoré nám zostali, považuje za doménu funkcie.

Príklad domény

Nájdite definičný obor f(x) = 1/(x ² - 1)

Riešenie:

Vzhľadom na to,

• f(x) = 1/(x²- 1)

Teraz vložte x = -1, 1 do f(x)

• f(-1) = 1/{(-1)²– 1} = 1/0 = ∞
• f(1) = 1/{(1)²– 1} = 1/0 = ∞

Teda na -1 a 1 je funkcia f(x) nedefinovaná a okrem toho, že vo všetkých bodoch je f(x) definovaná. Oblasť f(x) je teda R – {-1, 1}

Rozsah funkcie

Rozsah funkcie je množina všetkých výstupov funkcie. Pre ľubovoľnú funkciu f: A→ B sú množiny hodnôt v B rozsahom funkcie. ak f: A→ B je taká funkcia, že f(x) = x²a A je množina všetkých celých čísel, potom rozsah funkcie je množina Rozsah = {1, 4, 9, 16, ….}. Musíme poznamenať, že rozsah funkcie je podmnožinou Co-domény funkcie.

Pravidlá hľadania rozsahu funkcie

Pravidlá na nájdenie rozsahu funkcie sú,

• Pre lineárnu funkciu je rozsah R.
• Pre kvadratickú funkciu y = a(x – h)²+ k rozsah je:
  • y ≥ k, ak a> 0
  • y ≤ k, ak a <0
• Pre funkciu druhej odmocniny je rozsah y ≥ 0.
• Pre exponenciálnu funkciu je rozsah y> 0.
• Pre logaritmickú funkciu je rozsah R.

Ako nájsť rozsah funkcie?

Rozsah alebo obrázok funkcie je podmnožinou spoločnej domény a je množinou obrázkov prvkov v doméne.

ako otvoriť súbor v jave

Ak chcete nájsť rozsah funkcie, použite nasledujúce kroky

Uvažujme funkciu y = f(x).

Krok 1: Napíšte danú funkciu v jej všeobecnom reprezentačnom tvare, t.j. y = f(x).

Krok 2: Vyriešte to pre x a získanú funkciu zapíšte v tvare x = g(y).

Krok 3: Teraz bude definičný obor funkcie x = g(y) rozsahom funkcie y = f(x).

Takto sa vypočíta rozsah funkcie.

Príklad rozsahu

Nájdite rozsah funkcie f(x) = 1/ (4x − 3).

Riešenie:

Vzhľadom na to,

• f(x) = 1/ (4x − 3)

Nech je funkcia f(x) = y = 1/ (4x − 3)

y(4x − 3) = 1

4xy – 3y = 1

4xy = 1 + 3 roky

x = 4 roky / (1 + 3 roky)

Tu vidíme, že x je definované pre všetky hodnoty okrem y pre y = −1/3, keďže na y = -1/3 dostaneme nedefinovanú hodnotu x.

Takže rozsah f(x) = 1/ (4x − 3) je (−∞, −1/3) IN (1/3, ∞)

Ako nájsť doménu a rozsah

Ak chcete teraz vypočítať doménu a rozsah akejkoľvek danej funkcie, pozorne si preštudujte nasledujúci príklad:

Pre X = {1, 2, 3, 4, 5} a Y = {1, 2, 4, 5, …, 45, 46, 47, 48, 49, 50} a funkciu definovanú ako f: X → Y , f(x) = x²nájdite doménu a rozsah nasledujúcej funkcie f(x)

Doména = Všetky vstupné hodnoty = X

Rozsah = {1, 4, 9, 16, 25} = podmnožina Y

Doména funkcie je vstupná hodnota, ktorú môžeme použiť pre funkciu a rozsah funkcie je množina všetkých výstupných hodnôt, ktoré funkcia dosiahne. Teraz sa doména a rozsah funkcie nachádzajú pomocou príkladu pridaného nižšie,

Napríklad, ak dostaneme funkciu F: X → Y takú, že F(x) = y + 1 a X = {1, 2, 3, 4, 5} a Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tu,

• Doména F(x) = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Rozsah F(x) = {2, 3, 4, 5, 6}

Y je kodoména F(x), ale nie rozsah.

Doména a rozsah rôznych typy funkcií sú diskutované v ďalších častiach.

Príklady domény a rozsahu funkcie

• Lineárne funkcie : Pref(x)=2x+3, doména a rozsah sú všetky reálne čísla, pretože pre x a f(x) neexistujú žiadne obmedzenia.
• Kvadratické funkcie : Pre g(x)=x^2−4, doménou sú všetky reálne čísla, ale rozsah jey≥−4pretože výstup nemôže byť menší ako -4.
• Racionálne funkcie : Pre ℎ(x)=1/x-2​, doména je x≠2 (všetky reálne čísla okrem 2) a rozsah sú tiež všetky reálne čísla okrem prípadov, kde ℎ(x)=0.

Kvadratická doména a rozsah

Kvadratická funkcia je polynomická funkcia so stupňom 2, teda f(x): ax²+ bx = c = 0 je kvadratická funkcia. A doména a rozsah kvadratickej funkcie je:

Doména f(x): Množina reálnych čísel = R

Rozsah f(x):

• y ≥ k, ak a> 0, kde k je ľubovoľná konštanta
• y ≤ k, ak a <0, kde k je ľubovoľná konštanta

Doména a rozsah exponenciálnych funkcií

The exponenciálna funkcia je definovaný ako:

f: R → R, f(x) = a ^X

Oblasťou exponenciálnej funkcie sú všetky reálne čísla a keďže exponenciálna funkcia vždy dáva kladný výstup, rozsah je množina všetkých kladných reálnych čísel.

ľavé pripojenie vs pravé pripojenie

• doména = R
• Rozsah = R⁺

Doména a rozsah goniometrických funkcií

Pre goniometrické funkcie definičný obor je množina všetkých reálnych čísel (okrem niektorých hodnôt v niektorých funkciách) a rozsah goniometrických funkcií sa mení s rôznymi goniometrickými funkciami, napr.

• Rozsah sínusovej funkcie = [-1, 1]
• Rozsah kosínusovej funkcie = [-1, 1]
• Rozsah funkcie kosekantu = (−∞,−1]∪[1,+∞)
• Rozsah funkcie Secant = (−∞,−1]∪[1,+∞)

Rozsah funkcií tangens a kotangens je odlišný,

• Rozsah funkcie dotyčnice = [-∞, ∞]
• Rozsah funkcie kotangens = [-∞, ∞]

Dá sa to zhrnúť do tabuľky nižšie:

Doména a rozsah inverzných goniometrických funkcií

Inverzná sínusová funkcia

Doména: [-1, 1] & Rozsah: [- Pi /2 , Pi /2]

Inverzná kosínusová funkcia

Doména: [-1, 1] & Rozsah: [0 , Pi ]

Funkcia inverznej tangenty

doména: (-infty, infty) & Rozsah: (-π/2 ,π/2)

Inverzná funkcia kotangens

doména: (-infty, infty) & Rozsah: (0 , Pi )

Doména a rozsah funkcie absolútnej hodnoty

Absolútne funkcie nazývané aj modulová funkcia sú funkcie, ktoré sú definované pre všetky reálne čísla, ale ich výstupom sú iba kladné reálne čísla, absolútna funkcia dáva iba kladný výstup.

Absolútna funkcia je definovaná ako:

algoritmus kmp

f: R → R, f(x) = |ax + b|

Doména a rozsah funkcie absolútnej hodnoty je teda:

• doména = R
• Rozsah = R⁺

Doména a rozsah funkcie druhej odmocniny

Pre funkciu druhej odmocniny sa doména a rozsah vypočítajú takto:

Predpokladajme, že funkcia druhej odmocniny je, f(x) = √(ax + b)

Vieme, že druhá odmocnina záporného čísla nie je definovaná, takže doména funkcie druhej odmocniny je,

• doména = x ≥ -b/a = [-b/a,∞)

Teraz pre rozsah funkcie druhej odmocniny vieme, že absolútna odmocnina dáva iba kladné hodnoty, takže rozsahom sú všetky kladné reálne čísla.

• Rozsah = R⁺

Doména a rozsah racionálnej funkcie

A racionálna funkcia je funkcia, ktorá je reprezentovaná ako, P(x)/Q(x), kde P(x) a Q(x) sú polynomické funkcie a Q(x) nie je nikdy nula. definičný obor racionálnej funkcie sú hodnoty x, pre ktoré Q(x) nie je nikdy nula. A rozsah racionálnej funkcie sú hodnoty y, ktoré sa nachádzajú pomocou rôznych hodnôt x, v y = P(x)/Q(x).

Log Function Domain and Range

Funkcia denníka alebo Logaritmická funkcia sú funkciou tvaru, y = ln x a doména nd rozsah funkcie log je:

• Doména funkcie Log: (0, ∞)
• Rozsah funkcie denníka: (-∞, +∞)

Doména a rozsah funkcie najväčšieho celého čísla

Funkcia najväčšieho celého čísla sa tiež nazýva kroková funkcia a je to funkcia, ktorá dáva výstup ako najbližšie celé číslo menšie alebo rovné danému číslu.

• Doména najväčšej intergerovej funkcie: R
• Rozsah najväčších intergerových funkcií: Z

Doména a rozsah funkčného grafu

Ak je uvedený graf akejkoľvek funkcie, nájdenie domény a rozsahu je veľmi jednoduchá úloha. Predpokladajme, že dostaneme akúkoľvek krivku, potom je našou prvou prioritou zistiť, či je krivka funkčná alebo nie. test zvislej čiary . Potom, ak je krivka daná v tvare y = f(x), potom priemet na grafe na osi x udáva doménu funkcie a priemet grafu na os y udáva rozsah funkcie .

Doména a rozsah pracovného hárka funkcií

1. Zvážte funkciu f ( X )=√( X -2). Určte doménu a rozsah tejto funkcie.
2. Vzhľadom na funkciu g ( X )=1/( X +3), nájdite jeho doménu a rozsah.
3. Pre funkciu h ( X )=( X ²−4)/ X −2, určiť doménu a rozsah.
4. Preskúmajte funkciu k ( X )=bez( X ). Aký je definičný obor a rozsah tejto goniometrickej funkcie?
5. Preskúmajte funkciu m ( X )= to je ^X . Identifikujte jeho doménu a rozsah.

Pracovný list domény a rozsahu PDF

Stiahnuť ▼

Články týkajúce sa domény a rozsahu funkcie

Graf goniometrickej funkcie

Vzťah a funkcia

Rozsah funkcií