Funkcie v matematike si možno predstaviť ako predajné automaty. Vzhľadom na peniaze vo forme vstupu na oplátku dávajú nejaké plechovky alebo sušienky. Podobne funkcie berú nejaké vstupné čísla a poskytujú nám nejaký výstup. Dá sa povedať, že v reálnom živote sa dá všetko formulovať a riešiť pomocou funkcií. Od dizajnu budov a architektúry až po mega mrakodrapy, matematický model takmer všetkého v reálnom živote vyžaduje funkcie, preto sa nedá vyhnúť tomu, že funkcie majú v našich životoch obrovský význam. Doména a rozsah sú jedným z aspektov, prostredníctvom ktorých možno opísať funkciu.
Napríklad: Predpokladajme, že na vrchu stroja je napísané, že na nákup niečoho možno použiť iba bankovky 20 a 50 rupií. Čo ak niekto používa bankovky Rs.10? Stroj nevydáva žiadny výstup. Doména teda predstavuje, aké vstupy môžeme mať vo funkcii. V tomto prípade sú bankovky 20 a 50 rupií doménou automatu. Podobne nezáleží na tom, koľko peňazí človek vloží do automatu, nikdy z neho nedostane sendviče. Takže tu vstupuje do hry koncept rozsahu, rozsah je možné výstupy, ktoré môže stroj poskytnúť.
Rozsah a doména funkcie
Doména funkcie:
Doména sú všetky hodnoty, ktoré môžu vstúpiť do funkcie, pre ktorú poskytuje platný výstup. Je to množina všetkých možných vstupov do funkcie.
Napríklad: Na obrázku nižšie je f(x) = x2. Množina všetkých vstupov sa nazýva Doména a množina všetkých výstupov sa považuje za rozsah.
Ako nájsť doménu funkcie?
Definičný obor funkcie by mal obsahovať všetky reálne čísla okrem bodov, kde menovateľ je nula a členy pod odmocninou záporné. Ak chcete nájsť doménu, skúste nájsť body alebo vstupné hodnoty, nad ktorými funkcia nie je definovaná.
Otázka 1: Nájdite doménu
odpoveď:
Táto funkcia môže poskytnúť nedefinovaný výstup, keď x = 1. Takže doména je R – {1} .
Otázka 2: Nájdite doménu nasledujúcej funkcie:
Odpoveď :
Je dôležité, aby funkcia nebola nekonečná ani nedefinovaná, preto musíme zistiť, aké hodnoty domény môžu funkciu zmeniť na nedefinovanú alebo nekonečnú.
Keď sa pozrieme na menovateľa, je jasné, že hodnoty 3 a 5 robia menovateľa 0, a teda robia funkciu nekonečnou, čo nie je žiaduce.
Preto tu nemožno umiestniť hodnoty x=3 a x=5.
Doména bude R – {3,5}.
Otázka 3: Nájdite hodnoty domény, pre ktoré sú funkcie Y = (2x 2 -1) a Z= (1-3x) sú rovnaké.
Odpoveď :
Porovnanie dvoch funkcií:
2 x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
nainštalovať maven2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x + 2) = 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Preto sú hodnoty domény {1/2, -2}.
Rozsah funkcie
Rozsah funkcie je súbor všetkých jej možných výstupov.
Príklad: Uvažujme funkciu ƒ: A⇢A, kde A = {1,2,3,4}.
Prvky množiny Domény sa nazývajú predobrazy a prvky množiny Co-domény, ktoré sú mapované na predobrazy, sa nazývajú obrázky. Rozsah funkcie je množina všetkých obrázkov prvkov v doméne. V tomto príklade je rozsah funkcie {2,3}.
Ako nájsť rozsah funkcie?
Rozsah je rozpätie hodnôt výstupu funkcie. Ak dokážeme vypočítať maximálnu a minimálnu hodnotu funkcie, môžeme si urobiť predstavu o rozsahu funkcie.
Otázka 1: Nájdite rozsah. f(x) =
referenčná premenná v jazyku Java
odpoveď:
Keďže funkcia je odmocnina, nikdy nemôže poskytnúť záporné hodnoty ako výstup. Takže minimálna hodnota môže byť iba 0 pri x = 1. Maximálna hodnota môže stúpať do nekonečna, keď neustále zvyšujeme x.
Takže rozsah funkcie je [0,∞).
Otázka 2: Definičný obor funkcie ƒ definovaný pomocou f(x) =
odpoveď:
Dané, f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Pri výbere súboru domén je potrebné zabezpečiť dve veci,
- Menovateľ nikdy neklesne na nulu.
- Výraz v odmocnine sa nestane záporným.
Rozšírme to, čo je napísané vo vnútri termínu, v rámci druhej odmocniny.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} V tomto prípade nemôžeme zadať žiadnu z hodnôt, x ≥ 0 alebo x <0.
Preto f nie je definované pre žiadne x ∈ R. Takže doména je prázdna množina.
Doména a rozsah kvadratických funkcií
Kvadratické funkcie sú funkcie tvaru f(x) = ax2+ bx + c, kde a, b a c sú konštanty a a ≠ 0. Graf kvadratickej funkcie je v tvare paraboly. V podstate ide o zakrivený tvar otvárajúci sa nahor alebo nadol.
Pozrime sa, ako graficky zobraziť kvadratické funkcie,
Takže v našej kvadratickej funkcii
- ak a> 0, parabola sa otvára smerom nahor.
- ak a <0, parabola sa otvára smerom nadol.
Teraz je vrchol najvyšším alebo najnižším bodom našej krivky v závislosti od grafu kvadratickej funkcie. Nájsť vrchol grafu všeobecného kvadratického výrazu.
V štandardnom kvadratickom tvare je vrchol daný pomocou
Poznámka: Každá krivka je symetrická okolo svojej vertikálnej osi.
Pozrime sa na niekoľko príkladov,
Otázka: Nakreslite graf f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
odpoveď:
Porovnanie tejto rovnice so všeobecnou rovnicou kvadratickej funkcie. a = 2, b = -4 a c = 2.
Keďže a> 0, táto parabola sa otvorí smerom nahor.
- Vertex x-hodnota =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Hodnota y vrcholu = 2 (-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Takže vrchol je na (-1,0). Keďže sa parabola otvára smerom nahor, musí to byť minimálna hodnota funkcie.
listnodeBod, kde graf pretína os y, je (0,2).
Rozsah a doménu kvadratických funkcií možno ľahko zistiť vynesením grafu. Nie je vždy potrebné vykresliť celý graf, pre rozsah by mal byť známy iba smer paraboly (nahor alebo nadol) a hodnota paraboly vo vrchole. Hodnota vo vrchole je vždy buď minimum/maximum v závislosti od smeru paraboly. Oblasťou takýchto funkcií sú vždy celé reálne čísla, pretože sú definované všade, t.j. neexistuje žiadna hodnota vstupu, ktorá by mohla spôsobiť, že budú dávať nedefinované ako výstup.
Pozrime sa na ďalší príklad týkajúci sa domény a rozsahu paraboly.
otázka: Nakreslite graf a nájdite definičný obor a rozsah danej funkcie, f(x) = -x 2 + 4.
odpoveď:
Pretože a = -1. Parabola sa otvorí smerom nadol, t.j. nebude žiadna minimálna hodnota, bude siahať do nekonečna. Ale bude existovať maximálna hodnota, ktorá sa vyskytne vo vrchole.
Na nájdenie polohy vrcholu je možné použiť predchádzajúci vzorec. Vrchol je na pozícii (0,4).
Hodnota vo vrchole (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Takže maximálna hodnota je 4 a minimálna hodnota je záporná alebo nekonečná.
Rozsah funkcie – (-∞, 4] a definičný obor je R .
