Nech A, B a C sú množiny a R je relácia z A do B a nech S je relácia z B do C. To znamená, že R je podmnožina A × B a S je podmnožina B × C. Potom z R a S vznikne vzťah od A do C označený R◦S a definovaný ako:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

Vzťah R◦S je známy ako zloženie R a S; niekedy sa označuje jednoducho RS.

Nech R je relácia na množine A, to znamená, že R je relácia z množiny A k sebe samej. Potom je vždy reprezentované R◦R, zloženie R so sebou samým. R◦R sa niekedy označuje aj R². Podobne aj R³= R²◦R = R◦R◦R a tak ďalej. Takto Rⁿje definovaný pre všetky kladné n.

Príklad1: Nech X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} a Z = {l, m, n}. Zvážte vzťah R₁od X do Y a R₂od Y po Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Nájdite zloženie vzťahu (i) R₁R₂ (ii) R₁R₁^-1

Riešenie:

(i) Kompozičný vzťah R₁R₂ako je znázornené na obr:

R₁R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Kompozičný vzťah R₁R₁^-1ako je znázornené na obr:

R₁R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Zloženie vzťahov a matíc

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť R◦S. Nechaj M_Ra M_Soznačujú maticové reprezentácie vzťahov R a S. Potom

Príklad

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Riešenie: Matice vzťahu R a S sú znázornené na obr.

(i) Na získanie zloženia vzťahu R a S. Najprv vynásobte M_Rs M_Szískať maticu M_Rx M_Sako je znázornené na obr:

Nenulové položky v matici M_Rx M_Shovorí o prvkoch súvisiacich v RoS. takže,

Preto zloženie R o S vzťahu R a S je

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Najprv vynásobte maticu M_Rsám o sebe, ako je znázornené na obr

Preto zloženie R alebo R vzťahu R a S je

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Vynásobte maticu M_Ss M_Rzískať maticu M_Sx M_Rako je znázornené na obr:

Nenulové položky v matici M_Sx M_Rhovorí o prvkoch súvisiacich v S alebo R.

Preto zloženie S alebo R vzťahu S a R je

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.