Ak študujete trig alebo kalkul – alebo sa na to pripravujete – budete sa musieť zoznámiť s jednotkovým kruhom. Jednotkový kruh je základný nástroj používaný na riešenie sínusu, kosínusu a tangens uhla. Ale ako to funguje? A aké informácie potrebujete vedieť, aby ste ich mohli používať?

V tomto článku vysvetlíme, čo je jednotkový kruh a prečo by ste ho mali poznať. Ponúkame vám aj tri tipy, ktoré vám pomôžu zapamätať si, ako používať kruh jednotiek.

rudyard kipling ako vysvetlenie

Hlavný obrázok: Gustavb /Wikimedia

Jednotkový kruh: Základný úvod

Jednotková kružnica je kružnica s polomerom 1. To znamená, že pre akúkoľvek priamu čiaru vedenú od stredu kruhu do akéhokoľvek bodu pozdĺž okraja kruhu sa dĺžka tejto čiary bude vždy rovnať 1. (To tiež znamená, že priemer kruhu sa bude rovnať 2, pretože priemer sa rovná dvojnásobku dĺžky polomeru.)

zvyčajne stred jednotkového kruhu je miesto, kde sa pretínajú os x a os y, alebo súradnice (0, 0):

Jednotkový kruh alebo spúšťací kruh, ako je tiež známy, je užitočné poznať, pretože umožňuje nám jednoducho vypočítať kosínus, sínus a tangens akéhokoľvek uhla medzi 0° a 360° (alebo 0 a 2π radiánmi).

Ako vidíte na obrázku vyššie, nakreslením polomeru v akomkoľvek uhle (na obrázku označenom ∝) vytvoríte pravouhlý trojuholník. V tomto trojuholníku je kosínus vodorovná čiara a sínus je zvislá čiara. Inými slovami, kosínus =x-ová súradnica a sínus = súradnica y. (Najdlhšia čiara trojuholníka alebo prepona je polomer, a preto sa rovná 1.)

Prečo je toto všetko dôležité? Pamätajte, že dĺžky strán trojuholníka môžete vyriešiť pomocou Pytagorova veta alebo $a^2+b^2=c^2$ (v ktorom a a b sú dĺžky strán trojuholníka a c je dĺžka prepony).

Vieme, že kosínus uhla sa rovná dĺžke vodorovnej priamky, sínus sa rovná dĺžke zvislej priamky a prepona sa rovná 1. Preto môžeme povedať, že vzorec pre akýkoľvek pravouhlý trojuholník v jednotkovej kružnici je nasledujúci:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Keďže ^2=1$, môžeme túto rovnicu zjednodušiť takto:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Buďte si toho vedomí tieto hodnoty môžu byť záporné v závislosti od vytvoreného uhla a do akého kvadrantu spadajú súradnice x a y (podrobnejšie to vysvetlím neskôr).

Tu je prehľad všetkých hlavných uhlov v stupňoch a radiánoch na jednotkovej kružnici:

Jednotkový kruh — stupne

Jednotkový kruh — Radiány

Ale čo ak nie je vytvorený žiadny trojuholník? Poďme sa pozrieť na čo sa stane, keď je uhol 0° a vytvorí sa horizontálna priamka pozdĺž osi x:

Na tomto riadku sa súradnica x rovná 1 a súradnica y sa rovná 0. Vieme, že kosínus sa rovná súradnici x a sínus sa rovná súradnici y, takže môžeme napísať toto:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Čo ak uhol je 90° a tvorí dokonale vertikálnu čiaru pozdĺž osi y?

Tu vidíme, že súradnica x sa rovná 0 a súradnica y sa rovná 1. To nám dáva nasledujúce hodnoty pre sínus a kosínus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Tento slogan rozhodne platí, ak nie ste milovníkom matematiky.

Prečo by ste mali poznať Unit Circle

Ako je uvedené vyššie, jednotkový kruh je užitočný, pretože umožňuje nám jednoducho riešiť sínus, kosínus alebo tangens akéhokoľvek stupňa alebo radiánu. Je obzvlášť užitočné poznať jednotkový kruhový graf, ak potrebujete vyriešiť určité trigové hodnoty pre domácu úlohu z matematiky alebo ak sa pripravujete na štúdium počtu.

Ale ako presne vám môže pomôcť znalosť jednotkového kruhu? Povedzme, že ste v matematickom teste dostali nasledujúci problém – a ste nie povolené použiť kalkulačku na jeho vyriešenie:

java bool na reťazec

$$sin30°$$

kde začať? Pozrime sa znova na jednotkový kruhový graf – tentoraz so všetkými hlavnými uhlami (v stupňoch aj radiánoch) a ich zodpovedajúcimi súradnicami:

Jim.belk /Wikimedia

Nenechajte sa zahltiť! Pamätajte, že všetko, čo riešite, je $sin30°$. Pri pohľade na tento graf to môžeme vidieť y-ová súradnica sa rovná /2$ pri 30°. A keďže súradnica y sa rovná sínusu, naša odpoveď je nasledovná:

$$sin30°=1/2$$

Ale čo ak dostanete problém, ktorý namiesto stupňov používa radiány? Postup riešenia je stále rovnaký. Povedzme napríklad, že máte problém, ktorý vyzerá takto:

$$cos{{3π}/4}$$

Opäť pomocou vyššie uvedeného grafu môžeme vidieť, že x-ová súradnica (alebo kosínus) pre ${3π}/4$ (čo sa rovná 135°) je $-{√2}/2$. Takto by potom vyzerala naša odpoveď na tento problém:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Toto všetko je celkom jednoduché, ak máte vyššie uvedený jednotkový kruhový graf, ktorý môžete použiť ako referenciu. Ale väčšinou (ak nie vždy) to tak nebude a bude sa od vás očakávať, že na tieto typy matematických otázok budete odpovedať iba pomocou svojho mozgu.

Ako si teda môžete zapamätať jednotkový kruh? Prečítajte si naše najlepšie tipy!

Ako si zapamätať jednotkový kruh: 3 základné tipy

V tejto časti vám poskytneme naše najlepšie tipy na zapamätanie si trigového kruhu, aby ste ho mohli ľahko použiť pri akomkoľvek matematickom probléme, ktorý si to vyžaduje.

huffmanov kódovací kód

Neodporúčal by som cvičiť jednotkový kruh s post-itmi, ale hej, je to začiatok.

#1: Zapamätajte si spoločné uhly a súradnice

Ak chcete efektívne používať kruh jednotiek, musíte to urobiť zapamätať si najbežnejšie uhly (v stupňoch aj radiánoch), ako aj ich zodpovedajúce x-ové a y-ové súradnice.

Vyššie uvedený diagram je užitočný jednotkový kruhový graf, na ktorý sa treba pozrieť, pretože obsahuje všetky hlavné uhly v stupňoch aj radiánoch, okrem ich zodpovedajúcich súradnicových bodov pozdĺž osí x a y.

Tu je graf, v ktorom sú uvedené rovnaké informácie vo forme tabuľky:

Teraz, keď ste viac než vítaní, skúste si zapamätať všetky tieto súradnice a uhly, je to tak veľa vecí na zapamätanie.

Našťastie existuje trik, ktorý vám pomôže zapamätať si najdôležitejšie časti kruhu jednotiek.

Pozrite sa na súradnice vyššie a všimnete si jasný vzor: všetky body (okrem tých na 0°, 90°, 270° a 360°) striedajte iba tri hodnoty (či už kladné alebo záporné):

• $ 1/2 $
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Každá hodnota zodpovedá krátky, stredný alebo dlhý riadok pre kosínus aj sínus:

Čo znamenajú tieto dĺžky:

Krátka horizontálna alebo vertikálna čiara= $ 1/2 $ Stredná horizontálna alebo vertikálna čiara= ${√2}/2$ Dlhá horizontálna alebo vertikálna čiara= ${√3}/2$

Napríklad, ak sa pokúšate vyriešiť $cos{π/3}$, mali by ste hneď vedieť, že tento uhol (ktorý sa rovná 60°) označuje krátka vodorovná čiara na jednotkovej kružnici. preto jeho zodpovedajúca x-ová súradnica sa musí rovnať /2$ (kladná hodnota, pretože $π/3$ vytvára bod v prvom kvadrante súradnicového systému).

Nakoniec, aj keď je užitočné zapamätať si všetky uhly v tabuľke vyššie, všimnite si to zďaleka najdôležitejšie uhly na zapamätanie sú tieto:

• 30° / $ p / $ 6
• 45° / $ p / 4 $
• 60° / $ p / 3 $

Zaobchádzajte so svojimi negatívami a pozitívami ako s káblami, ktoré vás môžu zabiť, ak sú nesprávne zapojené.

#2: Zistite, čo je negatívne a čo je pozitívne

Je dôležité, aby ste dokázali rozlíšiť kladné a záporné súradnice x a y, aby ste našli správnu hodnotu pre problém so spúšťaním. Ako pripomienka, In či súradnice na jednotkovej kružnici budú kladné alebo záporné, závisí od toho do ktorého kvadrantu (I, II, III alebo IV) bod spadá:

Tu je graf znázorňujúci, či súradnice budú kladné alebo záporné na základe kvadrantu, v ktorom sa nachádza konkrétny uhol (v stupňoch alebo radiánoch):

Povedzme napríklad, že ste v matematickom teste dostali nasledujúci problém:

$$cos210°$$

Skôr ako sa to pokúsite vyriešiť, mali by ste byť schopní rozpoznať, že odpoveď bude záporné číslo pretože uhol 210° spadá do kvadrantu III (kde sú súradnice x vždy negatívny).

Teraz pomocou triku, ktorý sme sa naučili v tipe 1, môžete zistiť, že vytvára uhol 210° dlhá horizontálna čiara. Naša odpoveď je preto nasledovná:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Vedieť, ako riešiť tangentu

Nakoniec je dôležité vedieť, ako používať všetky tieto informácie o trigovom kruhu a sínusoch a kosínusoch, aby ste mohli vyriešiť tangens uhla.

Ak chcete v trigu nájsť tangens uhla θ (v stupňoch alebo radiánoch), jednoducho vydeľte sínus kosínusom:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Povedzme napríklad, že sa pokúšate odpovedať na tento problém:

char na celé číslo java

$$ an300°$$

Prvým krokom je zostavenie rovnice z hľadiska sínusu a kosínusu:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Teraz, aby sme vyriešili tangens, musíme nájsť sínus a kosínus 300°. Mali by ste byť schopní rýchlo rozpoznať, že uhol 300° spadá do štvrtého kvadrantu, to znamená kosínus alebo x-ová súradnica bude kladná a sínusová alebo y-ová súradnica záporná.

Tiež by ste to mali vedieť hneď vytvára uhol 300° krátka horizontálna čiara a dlhá vertikálna čiara. Preto sa kosínus (horizontálna čiara) bude rovnať /2$ a sínus (vertikálna čiara) sa bude rovnať $-{√3}/2$ (záporná hodnota y, keďže tento bod je v kvadrante IV) .

Teraz, aby ste našli dotyčnicu, všetko, čo musíte urobiť, je zapojiť a vyriešiť:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2} $$

$$ an300°=-√3$$

Je čas precvičiť si svoje matematické schopnosti!

Súprava otázok na precvičovanie kruhu jednotky

Teraz, keď už viete, ako jednotkový kruh vyzerá a ako ho používať, poďme otestovať, čo ste sa naučili, pomocou niekoľkých praktických úloh.

Otázky

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Odpovede

1. ${√2}/2$
2. – 1/2 $
3. $ 1/2 $
4. $ – √3 $

Odpoveď Vysvetlenia

#1: $sin45°$

Pri tomto probléme by ste mali byť schopní okamžite identifikovať dve informácie:

Odpoveď bude kladná,pretože uhol 45° je v kvadrante I a sínus uhla sa rovná súradnici y

• Vytvára uhol 45° stredne dlhá vertikálna čiara (pre ich)

Keďže 45° označuje kladnú čiaru strednej dĺžky, správna odpoveď je ${√2}/2$.

Ak si nie ste istí, ako to zistiť, nakreslite diagram, ktorý vám pomôže určiť, či bude dĺžka čiary krátka, stredná alebo dlhá.

#2: $cos240°$

Rovnako ako v prípade vyššie uvedeného problému č. 1 existujú dve informácie, ktoré by ste mali byť schopní rýchlo pochopiť s týmto problémom:

Odpoveď bude negatívna,pretože uhol 240° je v kvadrante III a kosínus uhla sa rovná súradnici x

• Vytvára uhol 240° krátka horizontálna čiara (pre kosínus)

Keďže 240° označuje zápornú krátku čiaru, správna odpoveď je – 1/2 $.

#3: $cos{5π}/3$

Na rozdiel od vyššie uvedených problémov tento problém používa radiánov namiesto stupňov. Aj keď to môže spôsobiť, že riešenie problému bude zložitejšie, v skutočnosti používa rovnaké základné kroky ako ostatné dva problémy.

Najprv by ste si mali uvedomiť, že uhol ${5π}/3$ je v kvadrante IV, takže súradnica x alebo kosínus bude kladné číslo. Aj to by ste mali vedieť povedať${5π}/3$vytvára krátka horizontálna čiara.

To vám dáva dostatok informácií, aby ste to mohli určiť a odpoveď je $ 1/2 $.

#4: $ an{2π}/3$

Tento problém sa zaoberá tangensom namiesto sínusu alebo kosínusu, čo znamená, že si to bude vyžadovať trochu viac matematiky. Najprv si spomeňte základný vzorec na nájdenie dotyčnice:

pridanie reťazca java

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Teraz si vezmime diplom, ktorý sme dostali – ${2π}/3$- a vložte to do tejto rovnice:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Teraz by ste mali byť schopní samostatne riešiť sínus a kosínus pomocou toho, čo ste si zapamätali o jednotkovom kruhu. Keďže uhol ${2π}/3$ je v kvadrante II, x-ová súradnica (alebo kosínus) bude záporná a súradnica y (alebo sínus) kladná.

Ďalej by ste mali byť schopní určiť na základe samotného uhla, ktorým je horizontálna čiara krátky riadok, a vertikálna čiara je dlhý rad. To znamená, že kosínus sa rovná $-1/2$ a sínus sa rovná ${√3}/2$.

Teraz, keď sme zistili tieto hodnoty, všetko, čo musíme urobiť, je zapojiť ich do našej počiatočnej rovnice a vyriešiť dotyčnicu:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2} $$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Čo bude ďalej?

Ak čoskoro absolvujete SAT alebo ACT, budete potrebovať poznať nejaký trig, aby ste mohli dobre zvládnuť matematickú sekciu. Pozrite si našich odborných sprievodcov pre aktiváciu SAT a ACT, aby ste sa naučili presne to, čo budete potrebovať vedieť na testovací deň!

Okrem zapamätania si jednotkového kruhu, je dobré sa naučiť, ako vkladať čísla a ako vkladať odpovede. Prečítajte si našich sprievodcov, aby ste sa dozvedeli všetko o týchto dvoch užitočných stratégiách, ktoré môžete použiť pri akomkoľvek matematickom teste – vrátane SAT a ACT!