Algebra je jednou zo základných tém matematiky. Polynómy sú nevyhnutnou súčasťou algebry. Vietov vzorec sa používa v polynómoch. Tento článok je o Vietovom vzorci, ktorý spája súčet a súčin koreňov s koeficientom polynómu. Tento vzorec sa špecificky používa v algebre.
Formula Vieta
Vietove vzorce sú tie vzorce, ktoré poskytujú vzťah medzi súčtom a súčinom koreňov polynómu s koeficientmi polynómov. Vietov vzorec popisuje koeficienty polynómu vo forme súčtu a súčinu jeho koreňa.
Formula Vieta
Vietov vzorec sa zaoberá súčtom a súčinom koreňov a koeficientom polynómu. Používa sa, keď musíme nájsť polynóm, keď sú dané korene alebo musíme nájsť súčet alebo súčin koreňov.
Vietov vzorec pre kvadratickú rovnicu
- Ak f(x) = ax 2 + bx + c je kvadratická rovnica s koreňmi a a b potom,
- Súčet koreňov = α + β = -b/a
- Súčin koreňov = αβ = c/a
- Ak je daný súčet a súčin koreňov, kvadratická rovnica je daná vzťahom:
- X 2 – (súčet koreňov)x + (súčin koreňov) = 0
Vietov vzorec pre kubickú rovnicu
- Ak f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d je kvadratická rovnica s koreňmi a, b a c potom,
- Súčet koreňov = α + β + γ = -b/a
- Súčet súčinu dvoch koreňov = αβ + αγ + βγ = c/a
- Súčin koreňov = αβγ = -d/a
- Ak je potom daný súčet a súčin koreňov, kubická rovnica je daná:
- X 3 – (súčet koreňov)x 2 + (súčet súčinu dvoch koreňov)x – (súčin koreňov) = 0
Vietov vzorec pre zovšeobecnenú rovnicu
Ak f(x) = a n X n + a n-1 X n-1 + a n-2 X n-2 + ……… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0 je kvadratická rovnica s koreňmi r 1 , r 2 , r 3 , ...... r n-1 , r n potom,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /a n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /a n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (a 0 /a n )
Vzorové problémy
Úloha 1: Ak α , β sú koreňmi rovnice : x 2 – 10x + 5 = 0, potom nájdite hodnotu (α 2 + b 2 )/(a 2 b + ab 2 ).
Riešenie:
Dané rovnica:
- X2– 10x + 5 = 0
By Vieta’s Formula
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
ap = c/a = 5/1 = 5
Ako2+b2) = (a + b)2– 2ab
= (10)2– 2×5
reťazcové metódy= 100 – 10
(a2+b2) = 90
Teraz hodnota (α2+ b2)/(a2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Úloha 2: Ak α , β sú korene rovnice : x 2 + 7x + 2 = 0 , potom nájdite hodnotu 14÷(1/α + 1/ β).
Riešenie:
Daná rovnica:
- X2+ 7x + 2 = 0
By Vieta’s Formula
a + b = -b/a = -7/1 = -7
ap = c/a = 2/1 = 2
Teraz, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Teraz hodnota 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
vlc na stiahnutie z youtube
Úloha 3: Ak α , β sú koreňmi rovnice : x 2 + 10x + 2 = 0, potom nájdite hodnotu (α/β + β/α).
Riešenie:
Daná rovnica:
- X2+ 10x + 2 = 0
By Vieta’s Formula
a + b = -b/a = 10/1 = 10
ap = c/a = 2/1 = 2
Ako2+b2) = (a + b)2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Teraz hodnota (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Úloha 4: Ak sú α a β koreňmi rovnice a za predpokladu, že α + β = -100 a αβ = -20, nájdite kvadratickú rovnicu.
Riešenie:
Vzhľadom na to,
- Súčet koreňov = α + β = -100
- Súčin koreňov = αβ = -20
Kvadratická rovnica je daná vzťahom:
X2– (súčet koreňov)x + (súčin koreňov) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Úloha 5: Ak sú α , β a γ koreňmi rovnice a za predpokladu, že α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 a αβ γ = -6, nájdite kubickú rovnicu.
Riešenie:
Vzhľadom na to,
- Súčet koreňov = α + β + γ = 10,
- Súčet súčinu dvoch koreňov = αβ + αγ + βγ = -1
- Súčin koreňov = priemer = -6
Kubická rovnica je daná vzťahom:
X3– (súčet koreňov)x2+ (súčet súčinu dvoch koreňov)x – (súčin koreňov) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Úloha 6: Ak α , β a γ sú koreňmi rovnice x 3 + 1569x 2 – 3 = 0, potom nájdite hodnotu [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b)] 3 + [(1/c) + (1/a)] 3
Riešenie:
Vzhľadom na to,
java generiká
- Súčet koreňov = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Súčet súčinu dvoch koreňov = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Súčin koreňov = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Keďže, (s3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r) (p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Nech, p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2 (αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2 (0/3) = 0
Z rovnice (1):
(str3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
p3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/a)]3= 3[(1/a) + (1/b)][(1/c) + (1/b)][(1/c) + (1/a)]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)
= -3/priemer = -3/3
= -1
Úloha 7: Ak sú α a β koreňmi rovnice x 2 – 3x +2 =0 potom nájdite hodnotu α 2 – b 2 .
Riešenie:
Vzhľadom na to,
- Súčet koreňov = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Súčin koreňov = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Ako (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
keďže
a2– b2= (a – b) (a + b) = (1) (3) = 3
a 2 – b 2 = 3