Vrchol vzorca Parabola: Bod, kde sa parabola a jej os symetrie pretínajú, sa nazýva vrchol paraboly. Používa sa na určenie súradníc bodu na osi symetrie paraboly, kde ju pretína. Pre štandardnú rovnicu paraboly y = ax2+ bx + c, vrcholový bod je súradnica (h, k). Ak koeficient x2v rovnici je kladná (a> 0), potom vrchol leží dole, inak leží na hornej strane.
V tomto článku budeme diskutovať vrchol paraboly, jej vzorec, odvodenie vzorca a vyriešené príklady na ňom.
Obsah
- Vlastnosti vrcholu paraboly
- Vrchol vzorca Parabola
- Odvodenie vrcholu vzorca Parabola
- Vzorové problémy na vrchole vzorca Parabola
Vrchol paraboly
Vlastnosti vrcholu paraboly
- Vrchol každej paraboly je jej bodom obratu.
- Derivácia funkcie paraboly v jej vrchole je vždy nula.
- Parabola, ktorá je buď hore alebo dole otvorená, má vo svojom vrchole maximá alebo minimá.
- Vrchol ľavej alebo pravej otvorenej paraboly nie je ani maximom, ani minimom paraboly.
- Vrchol je priesečník medzi parabolou a jej osou symetrie.
Vrchol vzorca Parabola
Pre vrcholový tvar paraboly platí y = a(x – h)2+ k, súradnice (h, k) vrcholu sú,
(h, k) = (-b/2a, -D/4a)
kde,
a je koeficient x2,
b je koeficient x,
D = b2– 4ac je diskriminant štandardného tvaru y = ax2+ bx + c.
Odvodenie vrcholu vzorca Parabola
Predpokladajme, že máme parabolu so štandardnou rovnicou ako, y = ax2+ bx + c.
Dá sa to napísať ako,
y – c = ax2+ bx
y – c = a (x2+ bx/a)
Sčítanie a odčítanie b2/4a2na RHS, dostaneme
y – c = a (x2+ bx/a + b2/4a2– b2/4a2)
y – c = a ((x + b/2a)2– b2/4a2)
y – c = a (x + b/2a)2– b2/4a
y = a (x + b/2a)2– b2/4a + c
y = a (x + b/2a)2– (b2/4a – c)
y = a (x + b/2a)2– (b2– 4ac)/4a
Vieme, D = b2– 4ac, takže rovnica sa stáva,
y = a (x + b/2a)2– D/4a
Porovnanie vyššie uvedenej rovnice s vrcholovým tvarom y = a(x – h)2+ k, dostaneme
h = -b/2a a k = -D/4a
Toto odvodí vzorec pre súradnice vrcholu paraboly.
Ľudia tiež čítajú:
- Graf, vlastnosti, príklady a rovnica paraboly
- Štandardná rovnica paraboly s príkladmi
Vzorové problémy na vrchole vzorca Parabola
Úloha 1. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = 2x 2 + 4x – 4.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = 2x2+ 4x – 4.
Tu a = 2, b = 4 a c = -4.
Teraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2– 4ac.
D = (4)2– 4 (2) (-4)
= 16 + 32
= 48
Takže x – súradnica vrcholu = -4/2(2) = -4/4 = -1.
y – súradnica vrcholu = -48/4(2) = -48/8 = -6
Vrchol paraboly je teda (-1, -6).
Úloha 2. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = 3x 2 + 5x – 2.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = 3x2+ 5x – 2.
Tu a = 3, b = 5 a c = -2.
pružina a pružina mvcTeraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2– 4ac.
D = (5)2– 4 (3) (-2)
= 25 + 24
= 49
Takže x – súradnica vrcholu = -5/2(3) = -5/6
y – súradnica vrcholu = -49/4(3) = -49/12
Vrchol paraboly je teda (-5/6, -49/12).
Úloha 3. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = 3x 2 - 6x + 1.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = 3x2- 6x + 1.
Tu a = 3, b = -6 a c = 1.
Teraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2– 4ac.
D = (-6)2– 4 (3) (1)
= 36 – 12
= 24
Takže x – súradnica vrcholu = 6/2(3) = 6/6 = 1
y – súradnica vrcholu = -24/4(3) = -24/12 = -2
Vrchol paraboly je teda (1, -2).
Úloha 4. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = 3x 2 + 8x – 8.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = 3x2+ 8x – 8.
Tu a = 3, b = 8 a c = -8.
Teraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2– 4ac.
D = (8)2– 4 (3) (-8)
= 64 + 96
= 160
Takže x – súradnica vrcholu = -8/2(3) = -8/6 = -4/3
y – súradnica vrcholu = -160/4(3) = -160/12 = -40/3
Vrchol paraboly je teda (-4/3, -40/3).
Úloha 5. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = 6x 2 + 12x + 4.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = 6x2+ 12x + 4.
Tu a = 6, b = 12 a c = 4.
Teraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2– 4ac.
D = (12)2– 4 (6) (4)
= 144 – 96
= 48
Takže x – súradnica vrcholu = -12/2(6) = -12/12 = -1
y – súradnica vrcholu = -48/4(6) = -48/24 = -2
Vrchol paraboly je teda (-1, -2).
Úloha 6. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = x 2 + 7x – 5.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = x2+ 7x – 5.
Tu a = 1, b = 7 a c = -5.
Teraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2– 4ac.
D = (7)2– 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Takže x – súradnica vrcholu = -7/2(1) = -7/2
y – súradnica vrcholu = -69/4(1) = -69/4
Vrchol paraboly je teda (-7/2, -69/4).
Úloha 7. Nájdite súradnice vrcholu pre parabolu y = 2x 2 + 10x – 3.
Riešenie:
Máme rovnicu ako, y = x2 + 7x – 5.
Tu a = 1, b = 7 a c = -5.
Teraz je známe, že súradnice vrcholu sú dané vzťahom (-b/2a, -D/4a), kde D = b2 – 4ac.
D = (7)2 – 4 (1) (-5)
= 49 + 20
= 69
Takže x – súradnica vrcholu = -7/2(1) = -7/2
y – súradnica vrcholu = -69/4(1) = -69/4
Vrchol paraboly je teda (-7/2, -69/4).
Časté otázky o vrchole vzorca Parabola
Čo myslíš vrcholom paraboly?
Bod, kde sa parabola a jej os symetrie pretínajú, sa nazýva vrchol paraboly. Používa sa na určenie súradníc bodu na osi symetrie paraboly, kde ju pretína.
Ako sa vypočíta vrchol paraboly?
Pre štandardnú rovnicu paraboly y = ax2+ bx + c, vrcholový bod je súradnica (h, k).
Napíšte vlastnosti vrcholu paraboly.
1. Vrchol každej paraboly je jej bodom obratu.
2. Derivácia funkcie paraboly v jej vrchole je vždy nulová.
3. Parabola, ktorá je buď hore alebo dole otvorená, má vo svojom vrchole maximá alebo minimá.
4. Vrchol ľavej alebo pravej otvorenej paraboly nie je maximom ani minimom paraboly.
5. Vrchol je priesečník medzi parabolou a jej osou symetrie.
ukážkový java kód
Je daný vrcholový tvar paraboly. Ako by ste našli jeho vrchol?
Pre štandardnú rovnicu paraboly y = ax2+ bx + c, vrcholový bod je súradnica (h, k).
Čo myslíš ohniskom paraboly?
Parabola je množina všetkých bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od daného bodu a danej priamky. Bod sa nazýva ohnisko paraboly.
Ako nakresliť parabolu s jej vrcholom?
1. Nájdite súradnice x a y.
2. Napíšte dve čísla menšie a dve väčšie ako ohnisko a označte ich ako x-ové súradnice.
3. Dosaďte hodnotu funkcie za x a nájdite súradnice y.
4.Určite ohnisko a vrchol paraboly a nakreslite súradnice na milimetrový papier.