Trigonometria je dôležité odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá vzťahom medzi uhlami a dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Šesť goniometrických pomerov alebo funkcií je sínus, kosínus, dotyčnica, kosekans a sečna a trigonometrický pomer je pomer medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Funkcie sínus, kosínus a tangens sú tri dôležité goniometrické funkcie, pretože ostatné tri, t. j. kosekans, sekans a kotangens, sú recipročné funkcie sínusových, kosínusových a tangensových funkcií.

• sin θ = Opačná strana/hypotenúza
• cos θ = susediaca strana/hypotenúza
• tan θ = Opačná strana/Priľahlá strana
• cosec θ = prepona/opačná strana
• sek θ = prepona/priľahlá strana
• detská postieľka θ = susedná strana/protiľahlá strana

Funkcia dotyčnice je jednou zo 6 goniometrických funkcií používaných v trigonometrických vzorcov .

Obsah

• Tangentový vzorec
• Niektoré základné tangentové vzorce
• Funkcia tangenty z hľadiska funkcie sínusu
• Funkcia tangenty z hľadiska funkcie kosínus
• Funkcia tangens z hľadiska funkcie kotangens
• Funkcia tangenty v zmysle funkcie kosekantu
• Funkcia tangenty v zmysle funkcie sekanty

Tangentový vzorec

Tangenta uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky protiľahlej strany k dĺžke priľahlej strany k danému uhlu. Funkciu dotyčnice píšeme ako tan. Uvažujme pravouhlý trojuholník XYZ a jeden z jeho ostrých uhlov je θ. Opačná strana je strana, ktorá je opačná k uhlu θ a susedná strana je strana, ktorá susedí s uhlom θ.

Teraz vzorec dotyčnice pre daný uhol θ je,

tan θ = Opačná strana/Priľahlá strana

Niektoré základné tangentové vzorce

Funkcia dotyčnice v kvadrantoch

Funkcia dotyčnice je kladná v prvom a treťom kvadrante a záporná v druhom a štvrtom kvadrante.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^svkvadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndkvadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdkvadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thkvadrant)

Dotyková funkcia ako negatívna funkcia

Funkcia dotyčnice je negatívna funkcia, pretože dotyčnica záporného uhla je záporná tangens kladného uhla.

tan (-θ) = – tan θ

Funkcia tangens z hľadiska funkcie sínus a kosínus

Funkciu tangens z hľadiska funkcií sínus a kosínus možno zapísať ako,

tan θ = sin θ/cos θ

Vieme to, tan θ = Opačná strana/Priľahlá strana

Teraz rozdeľte čitateľa aj menovateľa s preponou

tan θ = (opačná strana/hypotenza)/(priľahlá strana/hypotenza)

Vieme, že sin θ = opačná strana/hypotenúza

cos θ = susedná strana/hypotenza

Preto tan θ = sin θ/cos θ

Funkcia tangenty z hľadiska funkcie sínusu

Dotykovú funkciu z hľadiska sínusovej funkcie možno zapísať ako,

tan θ = hriech θ/(√1 – hriech ² i)

My to vieme,

tan θ = sin θ/cos θ

urfi javed

Z pytagorovských identít máme,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – hriech²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Preto tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Funkcia tangenty z hľadiska funkcie kosínus

Dotykovú funkciu z hľadiska kosínusovej funkcie možno zapísať ako,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

My to vieme,

tan θ = sin θ/cos θ

Z pytagorovských identít máme,

bez²θ + cos²θ = 1

bez²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Preto tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Funkcia tangens z hľadiska funkcie kotangens

Funkciu tangens z hľadiska funkcie kotangens možno písať ako,

tan 6 = 1/detská postieľka 9

alebo

tan θ = detská postieľka (90° – θ) (alebo) detská postieľka (π/2 – θ)

Funkcia tangenty v zmysle funkcie kosekantu

Funkciu tangenty z hľadiska funkcie kosekans možno zapísať ako,

tan θ = 1/√ (kosec ² ja – 1)

Z pytagorovských identít máme,

cosec²θ – detská postieľka²θ = 1

detská postieľka²θ = kosec²ja – 1

detská postieľka θ = √ (kosec²ja – 1)

My to vieme,

tan 6 = 1/detská postieľka 9

Z toho vyplýva, že tan θ = 1/√ (kosec²ja – 1)

Funkcia tangenty v zmysle funkcie sekanty

Funkciu tangens z hľadiska funkcie sekans možno zapísať ako,

tan θ = √sek ² ja – 1

Z pytagorovských identít máme,

sek²θ – teda²θ = 1

tan θ = sek²ja – 1

Preto tan θ = √ (sek²ja – 1)

Funkcia dotyčnice z hľadiska dvojitého uhla

Funkcia dotyčnice pre dvojitý uhol je,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Funkcia dotyčnice z hľadiska trojitého uhla

Funkcia dotyčnice pre trojitý uhol je,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² i)

Funkcia dotyčnice v zmysle polovičného uhla

Funkcia dotyčnice pre polovičný uhol je,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Funkcia dotyčnice z hľadiska sčítania a odčítania dvoch uhlov

Vzorce súčtu a rozdielu pre funkciu dotyčnice sú,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

opálenie (A – B) = (opálenie A – opálenie B)/(1 + opálenie A opálenie B)

Tabuľka trigonometrických pomerov

Vyriešený príklad na tangensových vzorcoch

Príklad 1: Nájdite hodnotu tan θ, ak sin θ = 2/5 a θ je uhol prvého kvadrantu.

Riešenie:

Vzhľadom na to,

• sin θ = 2/5

Z pytagorovských identít, ktoré máme,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – hriech²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Pretože θ je uhol prvého kvadrantu, cos θ je kladné.

prevod reťazca na int java

cos θ = √21/5

My to vieme,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21/21

Takže hodnota tan θ, keď sin θ = 2/5 a θ je v prvom kvadrante, je (2√21) /(21)

Príklad 2: Nájdite hodnotu tan x, ak sek x = 13/12 a x je štvrtý kvadrantový uhol.

Riešenie:

Dané, sek x = 13/12

Z pytagorovských identít máme,

sek²x – teda²x = 1

tak²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

tak²x = (169/144) – 1 = 25/144

tan x = ± 5/12

Pretože x je štvrtý kvadrantový uhol, tan x je záporné.

tan x = – 5/12

teda tan x = – 5/12

Príklad 3: Ak tan X = 2/3 a tan Y = 1/2, aká je potom hodnota tan (X + Y)?

Riešenie:

Vzhľadom na to,

tan X = 2/3 a tan Y = 1/2

My to vieme,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

teda tan(X + Y) = 7/4

Príklad 4: Vypočítajte funkciu dotyčnice, ak susedné a protiľahlé strany pravouhlého trojuholníka sú 4 cm a 7 cm.

Riešenie:

Vzhľadom na to,

Susedná strana = 4 cm

Opačná strana = 7 cm

My to vieme,

tan θ = Opačná strana/Priľahlá strana

tan 6 = 7/4 = 1,75

teda tan 6 = 1,75

Príklad 5: Muž sa pozerá na hodinovú vežu pod uhlom 60° k vrcholu veže, ktorej výška je 100 m. Aká je vzdialenosť medzi človekom a pätou veže?

Riešenie:

Vzhľadom na to,

Výška veže = 100 m a θ = 60°

Nech vzdialenosť medzi človekom a nohou veže = d

Máme,

tan θ = Opačná strana/Priľahlá strana

tan 60° = 100/d

√3 = 100/d [Odkedy, tak 60° = √3]

d = 100/√3

Preto je vzdialenosť medzi človekom a pätou veže 100/√3

Príklad 6: Nájdite hodnotu tan θ, ak sin θ = 7/25 a sec θ = 25/24.

Riešenie:

Vzhľadom na to,

sin θ = 7/25

sek. 0 = 25/24

My to vieme,

sek. 0 = 1/cos 9

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Máme,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

teda tan 6 = 7/24

Príklad 7: Nájdite hodnotu tan θ, ak cosec θ = 5/3 a θ je uhol prvého kvadrantu.

Riešenie:

Dané, cosec θ = 5/3

Z pytagorovských identít máme,

string.format java

cosec²θ – detská postieľka²θ = 1

detská postieľka²θ = kosec²ja – 1

detská postieľka θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

detská postieľka θ = ±√16/9 = ± 4/3

Keďže θ je uhol prvého kvadrantu, kotangens aj tangens funkcie sú kladné.

detská postieľka θ = 4/3

My to vieme,

detská postieľka 9 = 1/tan 9

4/3 = 1/tan8

tan 6 = 3/4

teda tan 6 = 3/4

Príklad 8: Nájdite tan 3θ, ak sin θ = 3/7 a θ je uhol prvého kvadrantu.

Riešenie :

Dané, hriech θ = 12/13

Z pytagorovských identít, ktoré máme,

bez²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – hriech²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Pretože θ je uhol prvého kvadrantu, cos θ je kladné.

cos 0 = 5/13

My to vieme,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Z toho vyplýva, že tan θ = 12/5

Teraz vieme, že

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)