V tomto článku budeme diskutovať o symetrickom rozdiele medzi dvoma sadami. Tu budeme diskutovať aj o vlastnostiach symetrického rozdielu medzi dvoma množinami.
Dúfam, že tento článok vám pomôže pochopiť symetrický rozdiel medzi dvoma sadami.
Aký je symetrický rozdiel?
Ďalším variantom rozdielu je symetrický rozdiel. Predpokladajme, že existujú dve množiny, A a B. Symetrický rozdiel medzi oboma množinami A a B je množina, ktorá obsahuje prvky prítomné v oboch množinách okrem spoločných prvkov.
Symetrický rozdiel medzi dvoma množinami sa tiež nazýva ako disjunktívna únia . Symetrický rozdiel medzi dvoma množinami je množina prvkov, ktoré sú v oboch množinách, ale nie sú v ich priesečníku. Symetrický rozdiel medzi dvoma množinami A a B predstavuje A D B alebo A ? B .
Môžeme to pochopiť na príkladoch.
Príklad 1 Predpokladajme, že existujú dve sady s niektorými prvkami.
Sada A = {1, 2, 3, 4, 5}
Sada B = {3, 5}
Takže symetrický rozdiel medzi danými množinami A a B je {1, 2, 4}
Alebo to môžeme povedať A Δ B = {1, 2, 4} .
Príklad2 Predpokladajme, že existujú dve sady s niektorými prvkami.
Množina A = {a, b, c, k, m, n}
Sada B = {c, n}
Takže symetrický rozdiel medzi danými množinami A a B je {a, b, k, m}
Alebo to môžeme povedať A Δ B = {a, b, k, m} .
V nižšie uvedenom Vennovom diagrame môžete vidieť symetrický rozdiel medzi týmito dvoma sadami.
Časť vytieňovaná farbou kože vo vyššie uvedenom Vennovom diagrame je symetrický rozdiel medzi danými súbormi, t.j. A D B .
Pozrime sa na niektoré vlastnosti symetrického rozdielu medzi dvoma množinami.
Vlastnosti
Existujú niektoré z vlastností symetrického rozdielu, ktoré sú uvedené nasledovne;
- Symetrický rozdiel možno znázorniť ako spojenie oboch relatívnych doplnkov, t.j.
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Symetrický rozdiel medzi dvoma množinami možno vyjadriť aj ako spojenie dvoch množín mínus priesečník medzi nimi -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Symetrický rozdiel je komutatívny aj asociatívny -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Prázdna množina je neutrálna (v matematike sa o neutrálnom prvku hovorí, že je to špeciálny typ prvku, ktorý, keď sa skombinuje s ktorýmkoľvek prvkom v množine, aby vykonal binárnu operáciu, ponechá prvok nezmenený. Je známy aj ako Prvok identity ).
A ∅ = A
A Δ A = ∅ - Ak sa množina A rovná množine B, potom symetrický rozdiel medzi oboma množinami je -
A Δ B = ∅ {keď A = B}
„Symetrický rozdiel medzi dvoma množinami“ v/s „Rozdiel medzi dvoma množinami“
Rozdiel medzi dvoma sadami
Rozdiel medzi dvoma množinami A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do A, ale nepatria do B, a označuje sa A – B .
Príklad: Nech A = {1, 2, 3, 4}
a B = {3, 4, 5, 6}
potom A - B = {3, 4} a B - A = {5, 6}
Symetrický rozdiel medzi dvoma sadami
Symetrický rozdiel medzi dvoma množinami, A a B, je množina obsahujúca všetky prvky, ktoré sú v A alebo B, ale nie v oboch. Zastupuje ho A D B alebo A ? B .
Príklad: Nech A = {1, 2, 3, 4}
a B = {3, 4, 5, 6}
potom A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov, aby sme jasnejšie pochopili symetrický rozdiel medzi dvoma množinami.
Otázka 1 - Predpokladajme, že máte množiny A = {10, 15, 17, 19, 20} a B = {15, 16, 18}. Zistite rozdiel medzi oboma množinami A a B a zistite aj symetrický rozdiel medzi nimi.
Riešenie - Vzhľadom na to,
jtlačidlo
A = {10, 15, 17, 19, 20}
a B = {15, 16, 18}
Rozdiel medzi oboma sadami je -
A – B = {10, 15, 17, 19, 20} – {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Symetrický rozdiel medzi oboma sadami je -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} – {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Otázka 2 - Predpokladajme, že máte množiny A = {2, 4, 6, 8} a B = {2, 5, 7, 8}. Zistite symetrický rozdiel B Δ A. Nakreslite aj Vennov diagram, ktorý bude reprezentovať symetrický rozdiel medzi oboma danými súbormi.
Riešenie - Dané, A = {2, 4, 6, 8} a B = {2, 5, 7, 8}
Vieme, že B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Skúsme otázku vyriešiť krok za krokom. Takže prvým krokom je nájsť spojenie množiny A a množiny B.
Preto (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Potom musíme vypočítať priesečník medzi oboma množinami.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Teraz musíme nájsť rozdiel medzi zjednotením a priesečníkom množín A a B, ako je uvedené vo vzorci,
Takže (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Preto B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Čo sa bude rovnať A Δ B, ako je uvedené vyššie, „Symetrický rozdiel je komutatívny“. Teraz ukážeme symetrický rozdiel medzi oboma súbormi prostredníctvom Vennovho diagramu.
Vo Vennovom diagrame najprv nakreslíme dva kruhy reprezentujúce množiny A a B. Ako sme vypočítali vyššie, priesečník medzi oboma množinami je {2, 8}, preto sme tieto prvky uviedli v oblasti, kde sa pretínajú. Potom uvedieme zostávajúce prvky v ich príslušných kruhoch množiny, t. j. {4, 6} v množine A a {5, 7} v množine B. Po usporiadaní prvkov bude Vennov diagram -
Keď sa pozrieme na vyššie uvedený Vennov diagram, existuje univerzálna množina U. Obe množiny A aj B sú podmnožinou univerzálnej množiny U. Prvky {2, 8} sú pretínajúce sa prvky, takže sú reprezentované v oblasti pretínania. Oblasť so svetlooranžovou farbou je spojením množín s výnimkou pretínajúcej sa oblasti. Táto oblasť je symetrickým rozdielom medzi oboma sadami A a B a bude reprezentovaná ako -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Otázka 3 - Predpokladajme, že máte množiny A = {5, 6, 8, 9, 10} a B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Pomocou daných množín dokážte, že symetrický rozdiel je komutatívny.
Riešenie - Dané, A = {5, 6, 8, 9, 10} a B = {2, 7, 8, 9, 10}
Dokázať: A Δ B = B Δ A
Vezmite LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Takže A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Teraz vezmite RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Takže B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Preto A Δ B = B Δ A
Preto je symetrický rozdiel komutatívny.