V matematike je sčítanie základným sčítaním postupnosti ľubovoľných čísel, nazývaných sčítance alebo sčítance; výsledkom je ich súčet alebo súčet. V matematike môžu byť čísla, funkcie, vektory, matice, polynómy a vo všeobecnosti prvky akéhokoľvek matematického objektu spojené s operáciou nazývanou sčítanie/sčítanie, označované ako +.

Sumácia explicitnej postupnosti sa označuje ako postupnosť pridávaní. Napríklad súčet (1, 3, 4, 7) môže byť základom označený ako 1 + 3 + 4 + 7 a výsledok pre vyššie uvedený zápis je 15, teda 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Pretože operácia sčítania je asociatívna aj komutatívna, pri vypisovaní série/sekvencie nie sú potrebné zátvorky a výsledok bude rovnaký bez ohľadu na poradie sčítancov.

Obsah

• Čo je sumačný vzorec?
• Kde použiť sumačný vzorec?
• Vlastnosti súčtu
• Štandardné súčtové vzorce
• Príklad na sumačný vzorec
• Časté otázky o súhrnnom vzorci

Čo je sumačný vzorec?

Sumačný alebo sigma (∑) zápis je metóda používaná na výstižný zápis dlhého súčtu. Tento zápis možno pripojiť k akémukoľvek vzorcu alebo funkcii.

zlúčiť triediť java

Napríklad, _i=1 ∑ ¹⁰(i) je sigma zápis sčítania konečnej postupnosti 1 + 2 + 3 + 4…… + 10, kde prvý prvok je 1 a posledný prvok je 10.

Sumačné vzorce

Kde použiť sumačný vzorec?

Sumačný zápis možno použiť v rôznych oblastiach matematiky:

• Postupnosť v sérii
• integrácia
• Pravdepodobnosť
• Permutácia a kombinácia
• Štatistiky

Poznámka: Suma je krátka forma opakovaného sčítania. Sčítanie môžeme nahradiť aj slučkou sčítania.

Vlastnosti súčtu

Nehnuteľnosť 1

_i=1 ∑ ⁿc = c + c + c + …. + c (n) krát = nc

Napríklad: Nájdite hodnotu_i=1 ∑ ⁴c.

Pomocou vlastnosti 1 môžeme priamo vypočítať hodnotu_i=1 ∑ ⁴c ako 4×c = 4c.

Nehnuteľnosť 2

_c=1 ∑ ⁿkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) krát = k × (1 + … + n) = k_{c = 1} ∑ ⁿc

Napríklad: Nájdite hodnotu_i=1 ∑ ⁴5i.

Pomocou vlastnosti 2 a 1 môžeme priamo vypočítať hodnotu_{i= 1} ∑ ⁴5i ako 5 ×_i=1 ∑ ⁴i = 5 x (1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Nehnuteľnosť 3

_{c = 1} ∑ ⁿ(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) krát = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_{c = 1} ∑ ⁿc

Napríklad: Nájdite hodnotu_i=1∑⁴(5+i).

Pomocou vlastnosti 2 a 3 môžeme priamo vypočítať hodnotu_i=1 ∑ ⁴(5+i) ako 5x4+_i=1 ∑ ⁴i = 20 + (1 + 2 + 3 + 4) = 30.

zreťazovacie struny

Nehnuteľnosť 4

_k=1 ∑ ⁿ(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ⁿf(k) +_k=1 ∑ ⁿg(k)

Napríklad: Nájdite hodnotu_i=1∑⁴(i + i²).

Pomocou vlastnosti 4 môžeme priamo vypočítať hodnotu_i=1 ∑ ⁴(i + i²) ako_i=1 ∑ ⁴ja +_i=1 ∑ ⁴i²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Štandardné súčtové vzorce

Rôzne sumačné vzorce sú,

Súčet prvých n prirodzených čísel: (1+2+3+…+n) =_i=1 ∑ ⁿ(i) = [n x (n +1)]/2

Súčet štvorcov prvých n prirodzených čísel: (1²+2²+3²+…+n²) =_i=1 ∑ ⁿ(i²) = [n x (n + 1) x (2n + 1)]/6

Súčet kocky prvých n prirodzených čísel: (1³+2³+3³+…+n³) =_i=1 ∑ ⁿ(i³) = [n²×(n +1)²)]/4

Súčet prvých n párnych prirodzených čísel : (2+4+…+2n) =_i=1 ∑ ⁿ(2i) = [n × (n +1)]

Súčet prvých n nepárnych prirodzených čísel : (1+3+…+2n-1) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1) = n²

Súčet štvorcov prvých n párnych prirodzených čísel: (2²+4²+…+ (2n)²) =_i=1 ∑ ⁿ(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Súčet štvorcov prvých n nepárnych prirodzených čísel: (1²+3²+…+ (2n-1)²) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Súčet kocky prvých n párnych prirodzených čísel: (2³+4³+…+(2n)3) =_i=1 ∑ ⁿ(2i)³= 2[n(n+1)]²

Súčet kocky prvých n nepárnych prirodzených čísel: (1³+3³+…+ (2n-1)³) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1)³= n²(2n²- 1)

Súvisiace články:

• Súčet prirodzených čísel
• Súčet v matematike
• Aritmetické operácie
• Aritmetická progresia a geometrická progresia

Príklad na sumačný vzorec

Príklad 1: Nájdite súčet prvých 10 prirodzených čísel pomocou súčtového vzorca.

Riešenie:

Použitie súčtového vzorca pre súčet n prirodzených čísel_i=1∑ⁿ(i) = [n x (n +1)]/2

Máme súčet prvých 10 prirodzených čísel =_i=1∑¹⁰(i) = [10 x (10 + 1)]/2 = 55

Príklad 2: Nájdite súčet 10 prvých prirodzených čísel väčších ako 5 pomocou súčtového vzorca.

Riešenie:

Podľa otázky:

Súčet 10 prvých prirodzených čísel väčších ako 5 =_i=6∑^pätnásť(i)

=_i=1∑^pätnásť(i) –_i=1∑⁵(i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Príklad 3: Nájdite súčet danej konečnej postupnosti 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Riešenie:

shreya ghoshal

Daná postupnosť je 1²+ 2²+ 3²+…8², môže byť napísané ako_i=1∑⁸i²pomocou vlastnosti/vzorca súčtu

_i=1∑⁸i²= [8 × (8 +1) × (2 × 8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Príklad 4: Zjednodušte _{c = 1} ∑ ⁿ kc.

Riešenie:

Daný sumačný vzorec =_{c = 1}∑ⁿkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termínov)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_{c = 1}∑ⁿkc = k _{c = 1} ∑ ⁿ c

parciálny odvodený symbol latex

Príklad 5: Zjednodušte a vyhodnoťte x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Riešenie:

Dané zhrnutie je_x=1∑ⁿ(4+x)

Ako to vieme_c=1∑ⁿ(k+c) = nk+_c=1∑ⁿc

Daný súčet možno zjednodušiť ako

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (X)

Príklad 6: Zjednodušte _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Riešenie:

Dané zhrnutie je_x=1∑ⁿ(2x+x²).

ako to vieme_k=1∑ⁿ(f(k) + g(k)) =_k=1∑ⁿf(k) +_k=1∑ⁿg(k)

daný súčet možno zjednodušiť ako _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (X ² ).

Časté otázky o súhrnnom vzorci

Čo je sumačný vzorec prirodzených čísel?

Súčet prirodzených čísel od 1 do n sa zistí pomocou vzorca n (n + 1) / 2. Napríklad súčet prvých 100 prirodzených čísel je 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Čo je všeobecný sumačný vzorec?

Všeobecný sčítací vzorec používaný na nájdenie súčtu postupnosti {a₁, a₂, a₃,…,a_n} je, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Ako používate ∑?

∑ je symbol súčtu a používa sa na nájdenie súčtu radov.

Aký je vzorec pre n súčet?

Vzorec pre súčet n prirodzených čísel je, Súčet n čísel vzorec je [n(n+1)2]