Rekurzívna funkcia je funkcia, ktorej hodnotu v ľubovoľnom bode možno vypočítať z hodnôt funkcie v niektorých predchádzajúcich bodoch. Predpokladajme napríklad funkciu f(k) = f(k-2) + f(k-3), ktorá je definovaná ako nezáporné celé číslo. Ak máme hodnotu funkcie k = 0 ak = 2, môžeme jej hodnotu nájsť aj v akomkoľvek inom nezápornom celom čísle. Inými slovami, môžeme povedať, že rekurzívna funkcia sa vzťahuje na funkciu, ktorá používa svoje predchádzajúce body na určenie nasledujúcich členov, a tak tvorí postupnosť členov. V tomto článku sa dozvieme o rekurzívnych funkciách spolu s určitými príkladmi.
Čo je to rekurzia?
Rekurzia označuje proces, v ktorom sa rekurzívny proces opakuje. Rekurzívna je druh funkcie jednej a viacerých premenných, zvyčajne špecifikovaných určitým procesom, ktorý vytvára hodnoty tejto funkcie nepretržitou implementáciou konkrétneho vzťahu k známym hodnotám funkcie.
Tu pochopíme rekurziu pomocou príkladu.
Predpokladajme, že idete po schodoch, aby ste sa dostali na prvé poschodie z prízemia. Takže, aby ste to urobili, musíte urobiť jeden po druhom. Existuje len spôsob, ako prejsť k druhému kroku, ktorý je na strmý prvý krok. Predpokladajme, že chcete prejsť na tretí krok; najprv musíte urobiť druhý krok. Tu môžete jasne vidieť proces opakovania. Tu môžete vidieť, že s každým ďalším krokom pridávate predchádzajúci krok ako opakovanú sekvenciu s rovnakým rozdielom medzi každým krokom. Toto je skutočný koncept rekurzívnej funkcie.
Krok 2: Krok 1 + najnižší krok.
Krok 3: Krok 2 + Krok 1 + najnižší krok.
Krok 4: Krok 3 + krok 2 + krok 1 + najnižší krok atď.
Množina prirodzených čísel je základným príkladom rekurzívnych funkcií, ktoré začínajú od jedna ide do nekonečna, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitív. Preto množina prirodzených čísel ukazuje rekurzívnu funkciu, pretože môžete vidieť spoločný rozdiel medzi každým výrazom ako 1; zobrazuje zakaždým, keď sa nasledujúci výraz opakuje predchádzajúcim výrazom.
Čo je to rekurzívne definovaná funkcia?
Rekurzívne definované funkcie sa skladajú z dvoch častí. Prvá časť sa zaoberá definíciou najmenšieho argumentu a na druhej strane druhá časť sa zaoberá definíciou n-tého termínu. Najmenší argument je označený f (0) alebo f (1), zatiaľ čo n-tý argument je označený f (n).
Postupujte podľa uvedeného príkladu.
Predpokladajme, že postupnosť je 4,6,8,10
Explicitný vzorec pre vyššie uvedenú postupnosť je f (n) = 2n + 2
Explicitný vzorec pre vyššie uvedenú postupnosť je daný
f (0) = 2
f(n) = f (n-1) + 2
dijkstra
Teraz môžeme získať sekvenčné členy použitím rekurzívneho vzorca takto f(2) f (1) + 2
f(2) = 6
f (0) = 2
f(1) = f(0) + 2
f (1) = 2 + 2 = 4
f(2) = f(1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
f(3) = f(2) + 2
f(3) = 6 + 2 = 8
Pomocou vyššie uvedeného vzorca rekurzívnej funkcie môžeme určiť ďalší člen.
Čo robí funkciu rekurzívnou?
Urobenie akejkoľvek funkcie rekurzívne potrebuje svoj vlastný člen na výpočet ďalšieho člena v sekvencii. Napríklad, ak chcete vypočítať n-tý člen danej postupnosti, musíte najprv poznať predchádzajúci člen a člen pred predchádzajúcim členom. Preto musíte poznať predchádzajúci výraz, aby ste zistili, či je sekvencia rekurzívna alebo nie. Môžeme teda dospieť k záveru, že ak funkcia potrebuje predchádzajúci člen na určenie ďalšieho člena v sekvencii, funkcia sa považuje za rekurzívnu funkciu.
Vzorec rekurzívnej funkcie
Ak1, a2, a3, a4, a5, a6, ......an,……je veľa množín alebo postupnosti, potom rekurzívny vzorec bude musieť vypočítať všetky členy, ktoré predtým existovali, aby sa vypočítala hodnota
an= an-1 +a1
Vyššie uvedený vzorec môže byť tiež definovaný ako rekurzívny vzorec aritmetickej sekvencie. Z vyššie uvedenej postupnosti môžete jasne vidieť, že ide o aritmetickú postupnosť, ktorá obsahuje prvý výraz, za ktorým nasledujú ďalšie výrazy a spoločný rozdiel medzi každým výrazom. Bežný rozdiel sa týka čísla, ktoré k nim pripočítate alebo odčítate.
Rekurzívnu funkciu možno definovať aj ako geometrickú postupnosť, kde množiny čísel alebo postupnosť majú medzi sebou spoločný faktor alebo spoločný pomer. Vzorec pre geometrickú postupnosť je uvedený ako
an= an-1 *r
Obvykle je rekurzívna funkcia definovaná v dvoch častiach. Prvým je výrok prvého termínu spolu so vzorcom a ďalším výrokom prvého termínu spolu s pravidlom súvisiacim s nasledujúcimi termínmi.
Ako napísať rekurzívny vzorec pre aritmetickú postupnosť
Ak chcete napísať rekurzívny vzorec pre vzorec aritmetickej postupnosti, postupujte podľa uvedených krokov
Krok 1:
V prvom kroku sa musíte uistiť, či je daná postupnosť aritmetická alebo nie (na to je potrebné pridať alebo odčítať dva po sebe nasledujúce členy). Ak získate rovnaký výstup, postupnosť sa berie ako aritmetická postupnosť.
Krok 2:
Teraz musíte nájsť spoločný rozdiel pre danú sekvenciu.
Krok 3:
Formulujte rekurzívny vzorec pomocou prvého výrazu a potom vytvorte vzorec pomocou predchádzajúceho výrazu a spoločného rozdielu; tak dostanete daný výsledok
an= an-1 +d
funkcie java 8
teraz pochopíme daný vzorec pomocou príkladu
predpokladajme, že 3,5,7,9,11 je daná postupnosť
Vo vyššie uvedenom príklade môžete ľahko zistiť, že ide o aritmetickú postupnosť, pretože každý člen v postupnosti sa zvyšuje o 2. Takže spoločný rozdiel medzi dvoma členmi je 2. Poznáme vzorec rekurzívnej postupnosti
an= an-1 +d
Vzhľadom na to,
d = 2
a1= 3
tak,
a2= a(2-1)+ 2 = a1+2 = 3+2 = 5
a3= a(3-1)+ 2 = a2+2 = 5 + 2 = 7
a4= a(4-1)+ 2 = a3+2 = 7+2 = 9
a5= a(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11 a proces pokračuje.
Ako napísať rekurzívny vzorec pre geometrickú postupnosť?
Ak chcete napísať rekurzívny vzorec pre vzorec geometrickej postupnosti, postupujte podľa uvedených krokov:
Krok 1
V prvom kroku sa musíte uistiť, či je daná postupnosť geometrická alebo nie (na to je potrebné vynásobiť alebo vydeliť každý člen číslom). Ak získate rovnaký výstup z jedného výrazu do druhého, postupnosť sa berie ako geometrická postupnosť.
Krok 2
Teraz musíte nájsť spoločný pomer pre danú sekvenciu.
Krok 3
Formulujte rekurzívny vzorec pomocou prvého termínu a potom vytvorte vzorec pomocou predchádzajúceho termínu a spoločného pomeru; tak dostanete daný výsledok
an= r*an-1
Teraz pochopíme daný vzorec pomocou príkladu
predpokladajme, že 2,8,32, 128,.je daná postupnosť
Vo vyššie uvedenom príklade môžete ľahko zistiť, že ide o geometrickú postupnosť, pretože nasledujúci výraz v postupnosti sa získa vynásobením 4 k predchádzajúcemu výrazu. Spoločný pomer medzi dvoma členmi je teda 4. Poznáme vzorec rekurzívnej postupnosti
an= r*an-1
an= 4
an-1= ?
Vzhľadom na to,
r = 4
a1= 2
reťazec obsahuje java
tak,
a2= a(2-1)* 4 = a1+ * 4 = 2 * 4 = 8
a3= a(3-1)* 4 = a2* 4 = 8 * 4 = 32
a4= a(4-1)* 4 = a3* 4 = 32 * 4 = 128 a proces pokračuje.
Príklad rekurzívnej funkcie
Príklad 1:
Určte rekurzívny vzorec pre postupnosť 4,8,16,32,64, 128,….?
Riešenie:
Daná sekvencia 4,8,16,32,64,128,…..
Daná postupnosť je geometrická, pretože ak vynásobíme predchádzajúci člen, dostaneme nasledujúce členy.
Aby sme určili rekurzívny vzorec pre danú postupnosť, musíme ho zapísať do tabuľky
| Čísla termínov | Termín poradia | Zápis funkcie | Dolný index |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | f(1) | a1 |
| 2 | 8 | f(2) | a2 |
| 3 | 16 | f(3) | a3 |
| 4 | 32 | f(4) | a4 |
| 5 | 64 | f(5) | a5 |
| 6 | 128 | f(6) | a6 |
| n | . | f(n) | an |
Preto je rekurzívny vzorec v pojme funkcie daný výrazom
f(1) = 4, f(n) . f(n-1)
V dolnom indexe je rekurzívny vzorec daný výrazom
a1= 4, an= 2. an-1