Objektívna funkcia je cieľom problému lineárneho programovania, ako naznačuje názov. V lineárnom programovaní alebo lineárnej optimalizácii používame rôzne techniky a metódy na nájdenie optimálneho riešenia lineárneho problému s určitými obmedzeniami. Technika môže zahŕňať aj obmedzenia nerovností. Cieľovou funkciou lineárneho programovania je optimalizácia s cieľom nájsť optimálne riešenie pre daný problém.
V tomto článku sa dozvieme všetko o objektívnej funkcii vrátane jej definície, typov, ako formulovať objektívnu funkciu pre daný problém atď. Dozvieme sa tiež rôzne reprezentácie objektívnych funkcií, ako sú lineárne objektívne funkcie alebo nelineárne ciele funkcie. Začnime sa teda učiť o tomto základnom koncepte lineárneho programovania, t.j. objektívnej funkcii.
Čo je objektívna funkcia?
Ako už názov napovedá, účelová funkcia v podstate stanovuje cieľ problému. Zameriava sa na rozhodovanie na základe obmedzení. Je to funkcia skutočnej hodnoty, ktorá sa má buď maximalizovať alebo minimalizovať v závislosti od obmedzení. Je to ako funkcia zisku alebo straty. Zvyčajne sa označuje Z.
Terminológie spojené s objektívnou funkciou sú nasledovné:
- Obmedzenia: Sú to v podstate podmienené rovnice, ktoré riadia lineárnu funkciu
- Rozhodovacie premenné: Premenné, ktorých hodnoty sa majú zistiť. Rovnice sú riešené tak, aby získali optimálnu hodnotu týchto premenných.
- Uskutočniteľný región: Je to oblasť v grafe, kde sú splnené obmedzenia a rozhodovacie premenné sa nachádzajú v rohoch oblasti.
- Optimálne riešenie: Najlepšie možné riešenie, ktoré spĺňa všetky obmedzenia a dosahuje najvyšší alebo najnižší cieľ.
- Nerealizovateľné riešenie: Riešenie, ktoré porušuje jedno alebo viacero obmedzení a nemožno ho implementovať ani spustiť.
Objektívna funkcia v lineárnom programovaní
V lineárnom programovaní je účelová funkcia lineárna funkcia obsahujúca dve rozhodovacie premenné. Je to lineárna funkcia, ktorá sa má maximalizovať alebo minimalizovať v závislosti od obmedzení. Ak a a b sú konštanty a x a y sú rozhodovacie premenné, kde x> 0 a y> 0, potom je cieľová funkcia
Z = ax + by
Aby sme teda získali optimálnu hodnotu funkcie Optimalizácia, musíme najskôr vyriešiť obmedzenia pomocou niektorej z techník a zistiť rozhodovacie premenné. Potom vložíme hodnoty rozhodovacích premenných do funkcie Objektív, aby sme vygenerovali optimálnu hodnotu.
Formulovanie objektívnej funkcie
Lineárne programovanie je o nájdení optimálnych hodnôt rozhodovacích premenných a vložení týchto hodnôt do cieľovej funkcie tak, aby sa vygenerovala maximálna alebo minimálna hodnota. Existuje mnoho techník, ako je Simplexová metóda a grafická metóda na riešenie lineárneho programovania. Zvyčajne sa však uprednostňuje grafická metóda kvôli svojej jednoduchosti. Kroky na získanie optimálnych hodnôt cieľovej funkcie sú nasledovné:
- Z úlohy vygenerujte obmedzujúce rovnice a cieľovú funkciu.
- Nakreslite obmedzujúce rovnice do grafu.
- Teraz identifikujte realizovateľnú oblasť, kde sú obmedzenia splnené.
- Vygenerujte hodnoty rozhodovacích premenných, ktoré sa nachádzajú v rohoch realizovateľnej oblasti.
- Vložte všetky vygenerované hodnoty do cieľovej funkcie a vygenerujte optimálnu hodnotu.
Bežné typy objektívnych funkcií
Existujú dva typy objektívnych funkcií.
- Cieľová funkcia maximalizácie
- Cieľová funkcia minimalizácie
Poďme diskutovať o týchto dvoch typoch podrobne takto:
Cieľová funkcia maximalizácie
Pri tomto type sa zvyčajne zameriavame na maximalizáciu účelovej funkcie. Vrcholy, ktoré sa nachádzajú po vykreslení obmedzení, majú tendenciu generovať maximálnu hodnotu účelovej funkcie. Ukážme si to na príklade
Príklad: Muž investuje najviac 8 hodín času do výroby peňaženiek a školských tašiek. Investuje 2 hodiny do výroby peňaženiek a 4 hodiny do školských tašiek. Zameriava sa na výrobu maximálne 5 peňaženiek a školských tašiek a chce ich predať a generovať zisk 20 Rs na peňaženke a 100 Rs na školskej taške. Nájdite cieľovú funkciu.
Riešenie:
Nech x je počet rožkov a y je počet chleba.
Muž môže investovať maximálne 8 hodín tak, že 2 hodiny investuje do výroby peňaženky a 4 hodiny do výroby školskej tašky. Preto prvá obmedzujúca rovnica je
2x + 4 roky ⩽ 8
⇒ x + 2r ⩽ 4
Maximálny počet, ktorý môže urobiť, je 5
x+y ⩽ 5
Účelovú funkciu označme Z
Preto Z = 20x + 100y
zoraďte zoznam polí v jazyku Java
Cieľová funkcia minimalizácie
Pri tomto type sa zvyčajne zameriavame na minimalizáciu objektívnej funkcie. Vrcholy, ktoré sa nachádzajú po vykreslení obmedzení, majú tendenciu generovať minimálnu hodnotu cieľovej funkcie. Ukážme si to na príklade
Príklad: Súčet dvoch premenných je aspoň 20. Jedna premenná je väčšia ako 9. Odvoďte účelovú funkciu, ak náklady jednej premennej sú 2 jednotky a náklady inej premennej sú 9 jednotiek.
Riešenie:
Nech x a y sú dve premenné. Predpokladá sa, že súčet dvoch premenných by mal byť aspoň 20.
x+y ⩾ 20
a x ⩾ 9
Nad dvomi nerovnosťami sú obmedzenia pre nasledujúcu účelovú funkciu.
Účelovú funkciu označme Z. Preto Z je
Z = 2x + 9r
Matematické znázornenie objektívnej funkcie
Ako sme diskutovali o objektívnej funkcii v kontexte lineárneho programovania, ale objektívna funkcia môže byť aj nelineárna.
- Lineárne objektívne funkcie: Pri tomto type objektívnej funkcie majú obmedzenia aj objektívne funkcie lineárny charakter. Exponenty premenných sú 1.
- Nelineárne objektívne funkcie: Pri tomto type objektívnej funkcie majú obmedzenia aj objektívne funkcie lineárny charakter. Exponenty premenných sú buď 1, alebo väčšie ako 1.
Aplikácie objektívnych funkcií
Objektívne funkcie sú dôležité v reálnych scenároch. Tieto funkcie využívajú napríklad podnikatelia. Podnikatelia ho využívajú na maximalizáciu zisku. Objektívne funkcie sú užitočné aj pri problémoch s dopravou. Nastavením funkcie je možné analyzovať, aká je spotreba paliva a ako môže používateľ zodpovedajúcim spôsobom znížiť ceny za to isté. Objektívne funkcie sú užitočné aj pri problémoch so vzdialenosťou.
Vyriešené problémy s objektívnou funkciou
Problém 1: Človek chce nejaké opasky a peňaženky. Má celkové úspory 6 000 Rs a chce minúť všetky svoje úspory na nákup opaskov a peňaženiek, aby ich mohol neskôr predať. Hodnota peňaženky je 20 Rs a hodnota opasku 10 Rs. Chce ich uložiť do skrine a maximálna kapacita skrine je 50 jednotiek. Očakáva zisk 2 Rs na páse a 3 Rs na peňaženke. Nájdite obmedzenia a výslednú účelovú funkciu.
Riešenie:
Nech x je počet peňaženiek, ktoré sa majú zakúpiť, a y je počet opaskov, ktoré sa majú zakúpiť. Je potrebné poznamenať, že vždy, keď je v probléme uvedené maximum, mali by sme použiť „⩽“ na nájdenie obmedzení
Maximálna investícia je 6 000 Rs. Prvá obmedzujúca rovnica je
20x+10y⩽6000
Maximálna úložná kapacita skrine je 50
x+y⩽50
Tu je zisková funkcia v podstate objektívnou funkciou. Označme to P. Preto je zisková funkcia
P = 3x + 2r
Úloha 2: Identifikujte obmedzujúce rovnice a cieľovú funkciu z daného súboru
- 2x + 3 roky ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4 roky ⩽ 40
- Z = 7x + 8r
Kde x a y sú väčšie ako 0.
Riešenie:
Obmedzeniami môžu byť nerovnosť alebo formát nerovnosti. Ale objektívna funkcia má vždy symbol rovnosti
Preto sú obmedzujúce rovnice
2x + 3 roky ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4 roky ⩽ 40
Objektívna rovnica je Z = 7x + 8y
Problém 3: Žena investuje maximálne 7 hodín času do prípravy rotis a chleba. Investuje 2 hodiny do rotis a 4 hodiny do chleba. Zameriava sa na výrobu najviac 20 kusov chleba a rožtekov a chce ich predať a generovať zisk 2 rupie z roti a 1 rupiu z chleba. Nájdite cieľovú funkciu.
Riešenie:
Nech x je počet rožkov a y je počet chleba.
b+ stromŽena môže investovať maximálne 7 hodín investovaním 2 hodín do prípravy roti a 4 hodín do prípravy chleba. Preto prvá obmedzujúca rovnica je
2x + 4 roky ⩽ 7
Maximálny počet chleba s rožkom, ktorý dokáže pripraviť, je 20
x + y ⩽ 20
Necháme cieľovú funkciu označiť Z
Preto Z = 2x + y.
Problém 4: Spoločnosť chce vyrábať produkt A a produkt B. Produkt A vyžaduje 4 jednotky kakaového prášku a 1 jednotka sušeného mlieka Produkt B vyžaduje 3 jednotky kakaového prášku a 2 jednotky sušeného mlieka. K dispozícii je 87 jednotiek kakaového prášku a 45 jednotiek sušeného mlieka. Zisk, ktorý sa má zarobiť na každom produkte, je 3 USD a 5 USD. Nájdite cieľovú funkciu.
Riešenie:
Nech x označuje počet výrobkov A a y počet výrobkov typu B.
Maximálne množstvo kakaového prášku je 87 jednotiek. Takže prvá obmedzujúca rovnica je
4x + 3 roky ⩽ 87
Maximálne dostupné množstvo sušeného mlieka je 45 jednotiek. Takže druhá obmedzujúca rovnica je
x + 2 roky ⩽ 45
Tu je naším cieľom maximalizovať zisk. Takže naša zisková funkcia je objektívna funkcia. Označme ho Z
Z = 3x + 5r
Problém 5: Vytvoria sa dva druhy potravinových balíčkov A a B, ktoré obsahujú vitamíny. K dispozícii je aspoň 45 jednotiek potravinového balíčka A a výroba oboch potravinových balíčkov by mala byť aspoň 30. Vygenerujte cieľovú funkciu, ktorá sa má vygenerovať, ak potravinový balíček A má 6 jednotiek vitamínov a potravinový balíček B má 8 jednotiek .
Riešenie:
Nech x je počet potravinových balíčkov A a y je počet potravinových balíčkov B
K dispozícii má byť minimálne 45 balíčkov potravín. Preto prvá obmedzujúca rovnica je
x ⩾ 45
Druhá obmedzujúca rovnica je
x + y ⩾ 30
Cieľová funkcia je nasledovná:
Z = 6x + 8r
Časté otázky o objektívnej funkcii
Q1: Čo je to objektívna funkcia v probléme lineárneho programovania?
odpoveď:
Cieľová funkcia je funkcia s reálnou hodnotou, ktorá sa má maximalizovať alebo minimalizovať v závislosti od obmedzení. Zahŕňa dve rozhodovacie premenné.
Q2: Aký je cieľ objektívnej funkcie?
odpoveď:
Cieľom účelovej funkcie je maximalizovať alebo minimalizovať výslednú hodnotu. Je to rovnica, ktorá je vyjadrená v podmienkach rozhodovacích premenných a hrá kľúčovú úlohu v lineárnom programovaní.
Otázka 3: Ako pochopíme, či má byť funkcia maximalizovaná alebo minimalizovaná?
odpoveď:
Aby sme skontrolovali, či má byť funkcia maximalizovaná alebo nie, mali by sme poznať výrazy ako „nanajvýš“, „aspoň“. Ak je uvedený výraz „aspoň“, potom sa má objektívna funkcia minimalizovať. Pre výraz „najviac“ by mala byť funkcia maximalizovaná.
Q4: Pomenujte bežné typy objektívnych funkcií.
odpoveď:
Existujú dva typy objektívnych funkcií:
- Maximalizácia Cieľová funkcia
- Cieľová funkcia minimalizácie
Otázka 5: Aké sú aplikácie objektívnej funkcie?
odpoveď:
Existujú rôzne aplikácie funkcie Objective. Sú užitočné v reálnych scenároch. V zásade sa používajú na odhad zisku alebo straty v každom jednotlivom prípade. Objektívne funkcie sú užitočné pri dopravných problémoch, problémoch s časovým obmedzením atď.