Miestne maximá a minima odkazujú na body funkcií, ktoré definujú najvyšší a najnižší rozsah tejto funkcie. Deriváciu funkcie možno použiť na výpočet lokálnych maxím a lokálnych miním. Miestne maximá a minimá možno nájsť pomocou testu prvého odvodenia aj testu druhého odvodenia.

V tomto článku sa budeme zaoberať úvodom, definíciou a dôležitou terminológiou miestnych maxím a miním a ich významom. Pochopíme tiež rôzne metódy výpočtu miestnych maxím a miním v matematike a kalkul . Budeme tiež riešiť rôzne príklady a uvádzať cvičné otázky pre lepšie pochopenie konceptu tohto článku.

Obsah

• Čo je miestne maximum a miestne minimá?
• Definícia miestneho maxima a miestneho minima
• Podmienky súvisiace s miestnymi maximami a miestnymi minimami
• Ako nájsť miestne maximá a minimá?
• Príklady na Local Maxima a Local Minima

Čo je miestne maximum a miestne minimá?

Lokálne maximá a minimá sa označujú ako maximálne a minimálne hodnoty v určitom intervale. Lokálne maximum nastane, keď hodnoty a funkciu v blízkosti konkrétneho bodu sú vždy nižšie ako hodnoty funkcie v rovnakom bode. V prípade lokálnych miním sú hodnoty funkcie v blízkosti konkrétneho bodu vždy väčšie ako hodnoty funkcie v rovnakom bode.

V jednoduchom zmysle sa bod nazýva lokálne maximum, keď funkcia dosiahne svoju najvyššiu hodnotu v určitom intervale, a bod sa nazýva lokálne minimum, keď funkcia dosiahne najnižšiu hodnotu v určitom intervale.

Napríklad, ak idete do kopcovitej oblasti a stojíte na vrchole kopca, tento bod sa nazýva bod Local Maxima, pretože ste na najvyššom bode vo svojom okolí. Podobne, ak stojíte na najnižšom bode v rieke alebo mori, tento bod sa nazýva bod miestneho minima, pretože ste v najnižšom bode vo svojom okolí.

Definícia miestneho maxima a miestneho minima

Miestne maximá a minimá sú počiatočné hodnoty akejkoľvek funkcie, aby ste získali predstavu o jej hraniciach, ako sú najvyššie a najnižšie výstupné hodnoty. Miestne minimá a lokálne maximá sa tiež nazývajú lokálne extrémy.

Miestna Maxima

Bod lokálneho maxima je bod na akejkoľvek funkcii, kde funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v rámci určitého intervalu. Bod (x = a) funkcie f (a) sa nazýva lokálne maximum, ak je hodnota f(a) väčšia alebo rovná všetkým hodnotám f(x).

inicializačný zoznam pythonu

Matematicky f (a) ≥ f (a -h) a f (a) ≥ f (a + h), kde h> 0, potom a sa nazýva lokálny maximálny bod.

Miestne minimá

Bod lokálneho minima je bod na akejkoľvek funkcii, kde funkcia dosiahne svoju minimálnu hodnotu v určitom intervale. Bod (x = a) funkcie f (a) sa nazýva lokálne minimum, ak hodnota f(a) je menšia alebo rovná všetkým hodnotám f(x).

Matematicky f (a) ≤ f (a -h) a f (a) ≤ f (a + h), kde h> 0, potom a sa nazýva lokálny minimálny bod.

Podmienky súvisiace s miestnymi maximami a miestnymi minimami

Dôležitá terminológia súvisiaca s miestnymi maximami a minimami je diskutovaná nižšie:

Maximálna hodnota

Ak nejaká funkcia udáva maximálnu výstupnú hodnotu pre vstupnú hodnotu x. Táto hodnota x sa nazýva maximálna hodnota. Ak je definovaný v konkrétnom rozsahu. Potom sa tento bod nazýva Miestna Maxima .

Absolútne maximum

Ak nejaká funkcia dáva maximálnu výstupnú hodnotu pre vstupnú hodnotu x v celom rozsahu funkcie. Táto hodnota x sa nazýva absolútne maximum.

Minimálna hodnota

Ak nejaká funkcia udáva minimálnu výstupnú hodnotu pre vstupnú hodnotu x. Táto hodnota x sa nazýva minimálna hodnota. Ak je definovaný v konkrétnom rozsahu. Potom sa tento bod nazýva Miestne minimá .

Absolútne minimum

Ak nejaká funkcia udáva minimálnu výstupnú hodnotu pre vstupnú hodnotu x v celom rozsahu funkcie. Táto hodnota x sa nazýva absolútne minimum.

Bod inverzie

Ak hodnota x v rozsahu danej funkcie nevykazuje najvyšší a najnižší výkon, nazýva sa bod inverzie.

Uč sa viac, Absolútne maximá a minimá

Ako nájsť miestne maximá a minimá?

Miestne maximá a minimá sú určené len pre konkrétny rozsah, nie sú maximom a minimom pre celú funkciu a nevzťahujú sa na celý rozsah funkcie.

Existujú nasledujúce spôsoby výpočtu miestnych maxím a miním. Toto sú:

• V prvom kroku vezmeme deriváciu funkcie.

• V druhom kroku nastavíme deriváciu rovnú nule a vypočítame kritické body pre c.

• V treťom kroku použijeme Prvá derivácia a Druhý derivačný test na určenie lokálneho maxima a lokálneho minima.

Čo je prvý derivačný test?

Najprv vezmeme prvú deriváciu funkcie, ktorá udáva smernicu funkcie. Keď sa približujeme k maximálnemu bodu, sklon funkcie sa zvyšuje, potom sa v maximálnom bode stáva nulou a potom klesá, keď sa od neho vzďaľujeme.

Podobne v minimálnom bode, keď sa približujeme k minimálnemu bodu, sklon krivky klesá, potom sa v minimálnom bode stáva nulou a potom sa zvyšuje, keď od tohto bodu odchádzame.

Vezmime si funkciu f(x), ktorá je spojitá v kritickom bode c, v otvorenom intervale I a f'(c) = 0, znamená sklon v kritickom bode c = 0.

Aby sme skontrolovali povahu f'(x) okolo kritického bodu c, máme nasledujúce podmienky na určenie hodnoty lokálneho maxima a minima z testu prvej derivácie. Ide o tieto podmienky:

• Ak f ′(x) mení znamienko z kladného na záporné, keď x rastie cez c, potom f(c) ukazuje najvyššiu hodnotu tejto funkcie v danom rozsahu. Bod c je teda bod lokálneho maxima, ak prvá derivácia f '(x)> 0 v akomkoľvek bode dostatočne blízko vľavo od c a f '(x) <0 v akomkoľvek bode dostatočne blízko vpravo od c.

• Ak f ′(x) mení znamienko zo záporného na kladné, keď x rastie cez c, potom f(c) ukazuje najnižšiu hodnotu tejto funkcie v danom rozsahu. Bod c je teda bod miestneho minima, ak prvá derivácia f ‘(x) 0 je v akomkoľvek bode dostatočne blízko napravo od c.

• Ak f'(x) nemení výrazne znamienko s x rastúcim cez c, potom bod c nevykazuje najvyššiu (Lokálne maximum) a najnižšiu (Lokálne minimá) hodnotu funkcie, V takom prípade je bod c nazývaný Inflexný bod.

Prečítajte si viac o Prvý derivačný test .

Čo je druhý derivačný test?

Druhý derivačný test sa používa na zistenie hodnoty absolútneho maxima a absolútneho minima ľubovoľnej funkcie v rámci daného intervalu. Vezmime si funkciu f(x), ktorá je spojitá v kritickom bode c, v otvorenom intervale I a f'(c) = 0, znamená sklon v kritickom bode c = 0. Tu vezmeme druhú deriváciu f (x) funkcie f(x), ktorá udáva smernicu funkcie.

Aby sme skontrolovali povahu f'(x), máme nasledujúce podmienky na určenie hodnoty lokálneho maxima a minima z testu druhej derivácie. Ide o tieto podmienky:

• Bod c je bod lokálneho maxima, ak prvá derivácia f'(c) = 0 a druhá derivácia f(c) <0. Bod na x= c bude lokálne maximum a f(c) bude lokálna maximálna hodnota f(x).

• Bod c je bod lokálneho minima, ak prvá derivácia f'(c) = 0 a f(c) druhá derivácia> 0. Bod pri x= c bude miestnym minimom a f(c) bude Lokálna minimálna hodnota f(x).

• Test zlyhá, ak prvá derivácia f'(c) = 0 a druhá derivácia f(c) = 0, potom bod c nevykazuje najvyššiu (miestne maximum) a najnižšiu (miestne minimá) hodnotu funkcie. , V takom prípade sa bod c nazýva inflexný bod a bod x = c sa nazýva inflexný bod Bod inflexie.

Tiež skontrolujte

• Aplikácia derivátov
• Relatívne maximá a minimá
• Diferenciačný a integračný vzorec

Príklady na Local Maxima a Local Minima

Príklad 1: Analyzujte lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 pomocou prvého derivačného testu.

Riešenie:

Daná funkcia je f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Prvá derivácia funkcie je f'(x) = 6x²– 6x – 12, použije sa na zistenie kritických bodov.

Na nájdenie kritického bodu f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Kritické body sú teda x = -1 a x = 2.

Analyzujte okamžitý bod prvej derivácie ku kritickému bodu x = -1. Body sú {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 a f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Znamienko derivácie je kladné vľavo od x = -1 a záporné vpravo. Znamená to teda, že x = -1 je lokálne maximum.

Poďme teraz analyzovať Prvý derivačný bod ku kritickému bodu x = 2. Body sú {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 a f'(3) = 6(9 + -3 - 2) = 6(4) = +24

rozdiel medzi ľadom a snehom

Znamienko derivácie je záporné vľavo od x = 2 a kladné vpravo. Znamená to teda, že x = 2 je lokálne minimá.

Preto je miestne maximum -1 a miestne minimum je 2.

Príklad 2: Analyzujte lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 pomocou druhého derivačného testu.

Riešenie:

Daná funkcia je f(x) = -x³+6x²-12x +10

Prvá derivácia funkcie je f'(x) = -x³+6x²-12x +10, použije sa na zistenie kritických bodov.

Na nájdenie kritického bodu f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

(x – 1) (x – 3) = 0

Kritické body sú teda x = 1 a x = 3

Teraz vezmite druhú deriváciu funkcie,

f(x) = 6x – 12

Vyhodnoťte f(x) v kritickom bode x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, a teda x = 1 zodpovedá lokálnemu maximu.

Vyhodnoťte f(x) v kritickom bode x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, a teda x = 3 zodpovedá lokálnym minimám.

Teraz vypočítame funkčné hodnoty v kritických bodoch:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, preto je lokálne maximum na (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, preto je lokálne maximum na (3, 1)

Cvičné otázky o miestnych minimách a maximách

Q1. Nájdite lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 pomocou druhého derivačného testu.

radenie zo zoznamu polí

Q2. Nájdite a analyzujte lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = – x²+4x -5 pomocou druhého derivačného testu.

Q3. Nájdite lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = x²-4x +5 pomocou prvého derivačného testu.

Q4. Nájdite a analyzujte lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = 3x²-12x +5 pomocou prvého derivačného testu.

Q5. Nájdite a analyzujte lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = x³– 6x²+9x + 15 použitím prvého derivačného testu.

Q6. Nájdite a analyzujte lokálne maximá a lokálne minimá funkcie f(x) = 2x³-9x²+12x +5 pomocou druhého derivačného testu.

Miestne maximá a lokálne minimá – často kladené otázky

Čo je Local Maxima?

Bod sa nazýva lokálne maximum, keď funkcia dosiahne najvyššiu hodnotu v určitom intervale.

Ako zistíte miestne maximum?

Diferencovaním funkcie a nájdením kritickej hodnoty, pri ktorej je sklon nula, môžeme nájsť lokálne maximum.

Čo je to miestne minimá?

Bod sa nazýva miestne minimá, keď funkcia dosiahne najnižšiu hodnotu v určitom intervale.

Aké metódy môžete použiť na výpočet miestneho maxima a miestneho minima?

Test prvej derivácie a test druhej derivácie.

Aký je rozdiel medzi testom prvého derivátu a testom druhého derivátu?

Prvý derivačný test je približná metóda na výpočet hodnoty lLcal maxím a lokálnych miním a druhý derivačný test je systematická a presná metóda na výpočet hodnoty lokálnych maxím a lokálnych miním.

Aký je význam bodu inverzie?

Ak hodnota bodu v rozsahu danej funkcie nevykazuje najvyšší a najnižší výstup, tento bod sa nazýva bod inverzie.

Aké je použitie miestnych maxím a miestnych miním?

Ak chcete zistiť extrémnu hodnotu funkcie v určitom rozsahu.