logo

TechCodeview

Inverzné goniometrické identity

Inverzné goniometrické identity: V matematike sú inverzné goniometrické funkcie známe aj ako arcus funkcie alebo anti-trigonometrické funkcie. Inverzné goniometrické funkcie sú inverzné funkcie základných goniometrických funkcií, t. j. sínus, kosínus, tangens, kosekans, sekans a kotangens. Používa sa na nájdenie uhlov s akýmkoľvek trigonometrickým pomerom. Inverzné goniometrické funkcie sa vo všeobecnosti používajú v oblastiach ako geometria, inžinierstvo atď. Inverzné goniometrické funkcie sú reprezentované:

Ak a = f(b), potom inverzná funkcia je



b = f-1(a)

java concat reťazce

Príklady inverzných inverzných goniometrických funkcií sú sin-1x, cos-1x, teda-1x atď.

Obsah



Doména a rozsah inverzných goniometrických identít

Nasledujúca tabuľka zobrazuje niektoré goniometrické funkcie s ich doménou a rozsahom.

Funkcia doména Rozsah
y = bez-1X[-jedenásť][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-jedenásť][0, p]
y = kosec-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1X R - (-jedenásť)[0, π] – {π/2}
y = tak-1X R (-p/2, p/2)
y = detská postieľka-1X R (0, p)

Vlastnosti inverzných goniometrických funkcií

Nasledujú vlastnosti inverzných goniometrických funkcií:

Vlastnosť 1:



  1. bez-1(1/x) = sec-1x, pre x ≥ 1 alebo x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, pre x ≥ 1 alebo x ≤ -1
  3. tak-1(1/x) = detská postieľka-1x, pre x> 0

Vlastnosť 2:

  1. bez-1(-x) = -sin-1x, pre x ∈ [-1 , 1]
  2. tak-1(-x) = -tan-1x, pre x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, pre |x| ≥ 1

Nehnuteľnosť 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, pre x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, pre |x| ≥ 1
  3. detská postieľka-1(-x) = π – detská postieľka-1x, pre x ∈ R

Nehnuteľnosť 4

  1. bez-1x + cos-1x = π/2, pre x ∈ [-1,1]
  2. tak-1x + detská postieľka-1x = π/2, pre x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2 pre |x| ≥ 1

Nehnuteľnosť 5

  1. tak-1x + tak-1y = tak-1( x + y )/(1 – xy), pre xy <1
  2. tak-1x – teda-1y = tak-1(x – y)/(1 + xy), pre xy> -1
  3. tak-1x + tak-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), pre xy>1; x, y> 0

Nehnuteľnosť 6

  1. 2 tan-1x = hriech-1(2x)/(1 + x2), pre |x| ≤ 1
  2. 2 tan-1x = cos-1(1 – x2)/(1 + x2), pre x ≥ 0
  3. 2 tan-1x = tak-1(2x)/(1 – x2), pre -1

Identity inverznej goniometrickej funkcie

Nasledujú identity inverzných goniometrických funkcií:

  1. bez-1(sin x) = x za predpokladu -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x za predpokladu, že 0 ≤ x ≤ π
  3. tak-1(tan x) = x za predpokladu -π/2
  4. bez-1x) = x za predpokladu -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos (cos-1x) = x za predpokladu -1 ≤ x ≤ 1
  6. tak tak-1x) = x za predpokladu x ∈ R
  7. cosec (cosec-1x) = x za predpokladu -1 ≤ x ≤ ∞ alebo -∞
  8. sek (sek-1x) = x za predpokladu, že 1 ≤ x ≤ ∞ alebo -∞
  9. detská postieľka (postieľka-1x) = x za predpokladu -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = hriech-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = hriech-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3- 3x)
  17. 3tan-1x = tak-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. bez-1x + hriech-1y = bez-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. bez-1x – hriech-1y = bez-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – a2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – a2)}
  22. tak-1x + tak-1y = tak-1(x + y/1 – xy)
  23. tak-1x – teda-1y = tak-1(x – y/1 + xy)
  24. tak-1x + tak-1a +tan-1z = tak-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Ľudia si tiež prezerajú:

Vzorové problémy s inverznými goniometrickými identitami

Otázka 1: Skúste bez -1 x = sek -1 1/√ (1-x 2 )

Riešenie:

Nechaj bez-1x = y

⇒ sin y = x , (keďže sin y = kolmica/prepona ⇒ cos y = √(1- kolmica2)/hypotenza)

⇒ cos y = √(1 – x2), tu prepona = 1

⇒ sek y = 1/kos y

⇒ sek y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ bez-1x = sek-11/√(1 – x2)

Preto dokázané.

Otázka 2: Skúste to -1 x = kosec -1 √ (1 + x 2 )/X

Riešenie:

Nech tak-1x = y

⇒ tan y = x, kolmica = x a základňa = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (pretože prepona = √ (kolmá2+ základňa2))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = kosec-1√ (x2+ 1)/x

⇒ teda-1x = kosec-1√ (x2+ 1)/x

Preto dokázané.

Otázka 3: Zhodnoťte sa ako -1 X)

Riešenie:

Nechajte čos-1x = y

⇒ cos y = x , základ = x a prepona = 1 teda sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = hriech y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = tak-1√(1 – x2)/X

⇒ cos-1x = tak-1√(1 – x2)/X

Preto tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Otázka 4: tak -1 √(hriech x) + postieľka -1 √(sin x) = y. Nájdite čos a.

Riešenie:

To opálenie poznáme-1x + detská postieľka-1x = /2 teda porovnaním tejto identity s rovnicou uvedenou v otázke dostaneme y = π/2

Takže cos y = cos π/2 = 0.

Otázka 5: tak -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan -1 x, x> 0. Vyriešte x.

Riešenie:

tak-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2) tan-1X

⇒ 2tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x … (1)

Vieme to, 2tan-1x = tak-12x/(1 – x2).

Preto LHS rovnice (1) možno zapísať ako

tak-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= tak-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= tak-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= tak-1(1 – x2)/(2x)

Pretože, LHS = RHS teda

tak-1(1 – x2)/(2x) = opálenie-1X

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Keďže x musí byť väčšie ako 0, x = 1/√3 je prijateľná odpoveď.

Otázka 6: Skúste to -1 √x = (1/2) cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Riešenie:

Nech tak-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ teda2y = x

preto

RHS = (1/2) cos-1(1- tak2y)/(1 + tan2a)

= (1/2) cos-1(kos2a bez2y)/(cos2a + bez2a)

= (1/2) cos-1(kos2a bez2a)

= (1/2) cos-1(cos 2 roky)

= (1/2) (2 roky)

= a

= tak-1√x

= LHS

Preto dokázané.

Otázka 7: tak -1 (2x)/(1 – x 2 ) + detská postieľka -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Riešenia:

tak-1(2x)/(1 – x2) + detská postieľka-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ teda-1(2x)/(1 – x2) + tak-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ teda-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 alebo x = -1 – √2

Ale podľa otázky x ∈ (-1, 1) teda pre danú rovnicu je množina riešení x ∈ ∅.

Otázka 8: tak -1 1/(1 + 1,2) + tan -1 1/(1 + 2,3) + … + tak -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 X. Riešenie pre x.

Riešenie:

tak-11/(1 + 1,2) + tan-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ teda-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + tan-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + tak-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ (tak-12 - tak-11) + (tak-13 - tak-12) + … + (tak-1(n + 1) – tak-1n) = tak-1X

⇒ teda-1(n + 1) – tak-11 = tak-1X

⇒ teda-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1X

⇒ teda-1n/(n + 2) = tan-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Otázka 9: Ak 2tan -1 (bez x) = tak -1 (2s x) potom vyriešte x.

Riešenie:

2 tan-1(bez x) = tak-1(2 s x)

⇒ teda-1(2sin x)/(1 – sin2x) = tak-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2X

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 alebo sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 alebo tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 alebo x = π/4

Ale pri x = π/2 daná rovnica neexistuje, takže x = π/4 je jediné riešenie.

Otázka 10: Dokážte, že postieľka -1 [ {√(1 + hriech x) + √(1 – hriech x)}/{√(1 + hriech x) – √(1 – hriech x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Riešenie:

Preto nech x = 2y

LHS = detská postieľka-1[{√(1+sin 2r) + √(1-sin 2r)}/{√(1+sin 2r) – √(1-sin 2r)}]

= detská postieľka-1[{√(cos2a + bez2y + 2sin y cos y) + √(cos2a + bez2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2a + bez2y + 2sin y cos y) – √(kos2a + bez2y – 2sin a cos y)} ]

= detská postieľka-1[{√(cos y + sin y)2+ √ (cos y – hriech y)2} / {√(cos y + hriech y)2– √ (cos a – hriech a)2}]

= detská postieľka-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= detská postieľka-1(2cos y)/(2sin y)

= detská postieľka-1(postieľka a)

= a

= x/2.

Cvičte problémy s inverznými goniometrickými identitami

Úloha 1: Vyriešte x v rovnici sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problém 2: Dokážte, že opálenie -1 (1) + tak -1 (2) + tak -1 (3) = str

Problém 3: Vyhodnoťte cos⁡(bez -1 (0,5))

Problém 4: Ak je opálená -1 (x) + tan -1 (2x) = π/4, potom nájdite x

Časté otázky o inverzných goniometrických identitách

Čo sú inverzné goniometrické funkcie?

Inverzné goniometrické funkcie sú inverzné funkcie základných goniometrických funkcií (sínus, kosínus, tangens, kosekans, sekans a kotangens). Používajú sa na nájdenie uhlov zodpovedajúcich daným trigonometrickým pomerom.

Prečo sú inverzné goniometrické funkcie dôležité?

Inverzné goniometrické funkcie sú nevyhnutné v rôznych oblastiach, ako je geometria, inžinierstvo a fyzika, pretože pomáhajú určovať uhly z trigonometrických pomerov, čo je kľúčové pre riešenie mnohých praktických problémov.

Aké sú oblasti a rozsahy inverzných goniometrických funkcií?

Každá inverzná goniometrická funkcia má špecifické domény a rozsahy:

s v -1 (x) : doména [-1, 1] a rozsah [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : doména [-1, 1] a rozsah [ 0, π]

tak⁡ -1 (x) : Doména R a rozsah (- π/2, π/2)

Môžu sa inverzné goniometrické funkcie použiť v počte?

Áno, inverzné goniometrické funkcie sa často používajú v počte na integráciu a diferenciáciu. Sú obzvlášť užitočné na integráciu funkcií, ktoré zahŕňajú goniometrické výrazy.