Integrál hriechu x je -cos(x) plus konštanta (C). Predstavuje plochu pod sínusovou krivkou. Funkcia sa opakuje každé 2π radiány kvôli jej periodickej povahe. Tento článok vysvetľuje integrál funkcie sínus, ukazuje jeho vzorec, dôkaz a aplikáciu pri hľadaní konkrétnych určitých integrálov. Ďalej uvádza vyriešené problémy a často kladené otázky.

Obsah

• Čo je integrál hriechu x?
• Integrál sin x vzorec
• Grafický význam integrálu hriechu x
• Integrál hriechu x dôkaz substitučnou metódou
• Jednoznačný integrál hriechu x
• Integrál Sin x Od 0 do π
• Integrál Sin x Od 0 do π/2

Čo je integrál hriechu x?

Integrál sin(x) týkajúci sa x je -cos(x) plus konštanta (C). To znamená, že keď diferencujete -cos(x) vzhľadom na x, dostanete sin(x). Integračná konštanta (C) predstavuje akúkoľvek dodatočnú konštantnú hodnotu, ktorá môže byť prítomná v pôvodnej funkcii.

Integrál sin x fyzikálne označuje oblasť pokrytú sínusovou krivkou.

učiť sa,

• Počet v matematike
• Integrácia v matematike

Integrál sin x vzorec

Integrál funkcie sínus, ∫ sin(x) dx, sa rovná -cos(x) + C, kde C je integračná konštanta.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Tu je cos(x) kosínusová funkcia a C predstavuje konštantu, ktorá sa pridáva k primitívnej derivácii, pretože derivácia konštanty je nula.

Grafický význam integrálu hriechu x

Integrál sin(x) od (a) do (b) má grafický význam z hľadiska výpočtu plochy pod krivkou v rámci tohto intervalu. Poďme preskúmať grafický význam pomocou metódy určitého integrálu a geometrickej metódy.

Jednoznačná integrálna metóda

Integrál sin(x) od (a) do (b) je daný vzťahom:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Toto predstavuje oblasť so znamienkom medzi krivkou sin(x) a osou x od (a) po (b).

Geometrická metóda

Uvažujme graf sin(x) od (a) po (b). Oblasť pod krivkou možno rozdeliť do dvoch oblastí:

• Pozitívna oblasť: Oblasti, kde je sin(x) kladné (nad osou x). To prispieva k pozitívnej oblasti pod krivkou.
• Negatívna oblasť: Oblasti, kde sin(x) je záporné (pod osou x). To prispieva k negatívnej oblasti pod krivkou.

Celková plocha je algebraickým súčtom týchto kladných a záporných oblastí.

Príklad:

Nájsť plochu pod krivkou sin(x) od (a = 0) do (b = π/2).

Pomocou metódy určitého integrálu:

∫₀^p/2hriech x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Toto je podpísaná oblasť pod krivkou.

Pomocou geometrickej metódy:

Graf sin(x) od 0 do (π/2) je štvrtina kruhu a plocha je skutočne 1.

Integrácia hriechu x dôkaz substitučnou metódou

Ak chcete nájsť integrál sin(x) pomocou substitučnej metódy, zvážte integrál:

Jedna bežná substitúcia za goniometrické integrály zahŕňa, že u sa rovná výrazu vnútri goniometrickej funkcie. V tomto prípade nech u = cos(x). Potom vypočítajte du z hľadiska dx:

du/dx = -sin(x)

Teraz vyriešte dx:

dx = -1/sin(x) du

Teraz nahraďte u a dx z hľadiska u do pôvodného integrálu:

Integrál sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Zjednodušte výraz:

Integrál sin(x) dx = -∫ du

Teraz integrujte s ohľadom na vás:

previesť z char na int java

Integrál sin(x) dx = -u + C

Teraz nahraďte späť u, ktoré bolo definované ako cos (x):

Integrál sin(x) dx = -cos(x) + C

Takže pomocou substitučnej metódy sme dospeli k rovnakému výsledku ako pri dôkaze pomocou derivátov. Integrál sin(x) je -cos(x) + C, kde C je integračná konštanta.

Jednoznačný integrál hriechu x

Určitý integrál sin(x) od a do b, označený ako

∫ ^b _a sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Vypočítava čistú plochu pod sínusovou krivkou medzi x = a a x = b, berúc do úvahy smer oblasti nad a pod osou x.

učiť sa, Jednoznačný integrál

Integrál hriechu x Od 0 do Pi

Na nájdenie integrálu sin(x) od 0 do π môžeme použiť primitívnu deriváciu. Prvok sin(x) je -cos(x). Vyhodnotením tejto primitívnej funkcie od 0 do π dostaneme:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Keďže cos(π) je -1 a cos(0) je 1, výraz sa zjednodušuje na:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Integrál sin(x) od 0 do π sa teda rovná 2. Toto predstavuje oblasť so znamienkom medzi krivkou sin(x) a osou x od x = 0 po x = π.

Integrál hriechu x Od 0 do Pi /2

Určitý integrál predstavuje oblasť so znamienkom medzi krivkou a osou x v danom intervale.

Integrál je daný ako:

∫₀^p/2sin(x) dx

Použitie primitívnej funkcie -cos(x) na vyhodnotenie integrálu:

cos(x) |[0 až π/2]

Teraz nahraďte π/2 do -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Pripomeňme, že cos(π/2) = 0 a cos(0) = 1. Nahraďte tieto hodnoty:

-(0) – (-1)

Zjednodušiť:

0 + 1 = 1

Určitý integrál sin(x) od 0 do π/2 sa rovná 1. To znamená, že plocha so znamienkom medzi sínusovou krivkou a osou x od x = 0 do x = π/2 je 1.

Tiež skontrolujte

• Integrácia Cos x
• Integrácia Tan x
• Integračné vzorce

Integrál hriechu x – vyriešené príklady

Príklad 1: Nájdite integrál sin2(x)

Riešenie:

oops koncept v jave

Pre bez²(x), môžete použiť vzorec zahŕňajúci cos (2x).

∫sin²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Rozdeľte ho na dve časti:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integrál dx je len x. Integrál cos(2x) zahŕňa použitie vzorca sin(2x). Vyzerá to takto:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Skombinujte tieto dva výsledky a pridajte konštantu C, aby ste zohľadnili akúkoľvek potenciálnu konštantu v pôvodnom integráli.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Príklad 2: Nájdite integrál sínusu ³ X.

Riešenie:

Integrál sínusovej kocky vzhľadom na x možno zapísať ako:

∫sin³x dx

Použite trigonometrickú identitu na zjednodušenie:

bez³x = [1 – cos²(x)] hriech (x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Rozdeľte a oddeľte výrazy:

∫[hriech x – hriech x. cos²(x)]dx

Integrujte každý výraz samostatne:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Tu (C) predstavuje integračnú konštantu.

Príklad 3: Nájdite integrál sin x ^-1

Riešenie:

integrál hriechu(x)^-1možno vyjadriť pomocou funkcie arcsínus. Integrál je daný:

∫1/sin x = -ln|cosec x + detská postieľka x| + C

Tu je (C) konštanta integrácie.

Príklad 4: Nájdite integrál sin x ²

Riešenie:

Integrál sin²(x) vzhľadom na x možno vyriešiť pomocou trigonometrickej identity.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Teraz integrujte každý výraz samostatne:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 hriechu(2x)] + C

kde ( C ) je konštanta integrácie.

Príklad 5: Nájdite integrál sin x ^-3

Riešenie:

Integrál hriechu (x)^-3vzhľadom na (x) zahŕňa trigonometrickú substitúciu. Tu je návod, ako to môžete vyriešiť:

Nech u = sin(x), potom du = cos(x)dx

Teraz ich nahraďte integrálom:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³z

Teraz integrujte vzhľadom na (u):

∫u⁻³ty = ty⁻²/-2 + C

Nahraďte späť v zmysle (x) pomocou u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2 sin²x + C

Takže integrál sin(x)^-3vzhľadom na (x) je -1/2 sin²x , kde (C) je konštanta integrácie.

Príklad 6: Nájdite integrál sin inverznej hodnoty x

Riešenie:

Nájsť integrál hriechu^-1(x) vzhľadom na (x) môžete použiť integráciu podľa častí. Vzorec pre integráciu po častiach je:

∫udv=uv−∫vdu

u = hriech^-1(x) a dv = dx

Teraz nájdite (du) a (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Použite vzorec integrácie podľa častí:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Teraz integrujte zostávajúci výraz na pravej strane. Môžete použiť substitúciu tak, že necháte (t = 1 – x²), potom (dt = -2x, dx):

np std

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Teraz nahraďte späť v zmysle (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Dávať to všetko dokopy:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

kde (C) je konštanta integrácie.

Príklad 7: Nájdite integrál x sin 2x dx

Riešenie:

Ak chcete nájsť integrál xsin(2x) vzhľadom na (x), môžete použiť integráciu podľa častí. Vzorec pre integráciu po častiach je daný:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x a dv = sin(2x)dx

Teraz nájdite (du) a (v):

du = dx a v = -1/2 cos (2x)

Použite vzorec integrácie podľa častí:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos (2x) dx

Teraz integrujte zostávajúci výraz na pravej strane. Integrál -1/2cos(2x) možno nájsť tak, že necháme (u = 2x) a použijeme jednoduchú substitúciu:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Tento výsledok dosaďte späť do pôvodnej rovnice:

-1/2x cos(2x) + 1/4 hriechu (2x) + C

Takže integrál xsin(2x) vzhľadom na (x) je -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, kde (C) je konštanta integrácie.

Príklad 8: Nájdite integrál sin x cos 2x

Riešenie:

Ak chcete nájsť integrál sin(x) cos(2x) vzhľadom na (x), môžete použiť integráciu po častiach. Vzorec integrácie podľa častí je:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) a dv = cos(2x)dx

Teraz nájdite (du) a (v):

du = cos(x) dx a v = 1/2 sin(2x)

Použite vzorec integrácie podľa častí:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Teraz integrujte zostávajúci výraz na pravej strane. Znova môžete použiť integráciu po častiach:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Pokračujte v procese, kým sa integrál nestane zvládnuteľným. Po zjednodušení získate konečný výsledok:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

kde (C) je konštanta integrácie.

Integrál hriechu x – Cvičné otázky

Q1. Nájdite integrál sínusu od 0 do pi.

Q2. Vypočítajte integrál sínusu od -π/2 do π/2.

Q3. Nájdite hodnotu integrálu sínus plus kosínus vzhľadom na x.

Q4. Vyhodnoťte integrál sínusu (2x) od 0 do π/3.

Q5. Nájdite primitívnu deriváciu sínusu (3x) vzhľadom na x.

Q6. Vypočítajte integrál sínusu (2x) od π do 2π.

Q7. Integrujte funkciu sínus na druhú vzhľadom na x.

Q8. Vypočítajte integrál sínusovej druhej mocniny od -π/4 do π/4.

Integrál hriechu x – Často kladené otázky

Čo je integrál hriechu x?

Integrál hriechu x je -cos x

Čo je hriech x?

Sin(x) je trigonometrická funkcia, ktorá predstavuje pomer dĺžky strany oproti uhlu k dĺžke prepony v pravouhlom trojuholníku.

Čo je rozsah hriechu x?

Rozsah Sin x je [-1, 1].

Čo je integrál a derivát hriechu x?

Integrál sin x je -cos x a derivácia six je cos x

Čo je integrál hriechu x a cos x?

Integrál sin x je -cos x + C a negrál cos x je sin x

Čo je Integral of Sin 2x?

Integrácia hriechu 2x je (-cos2x)/2 + c