A Hyperbola je hladká krivka v rovine s dvoma vetvami, ktoré sa navzájom zrkadlia, pripomínajúc dve nekonečné oblúky. Je to kužeľosečka vytvorená pretínaním pravého kruhového kužeľa s rovinou pod takým uhlom, že sa obe polovice kužeľa pretínajú.

Dozvieme sa podrobnejšie o Hyperbole, vrátane jej rovnice, vzorcov, vlastností, grafov a odvodenia.

Hyperbola

Obsah

• Čo je Hyperbola?
• Definícia hyperboly
• Hyperbola rovnica
• Časti Hyperboly
• Výstrednosť hyperboly
• Štandardná rovnica hyperboly
• Pravá strana Hyperboly
• Odvodenie rovnice hyperboly
• Formula Hyperbola
• Graf Hyperbola
• Konjugovaná hyperbola
• Vlastnosti Hyperbola
• Pomocné kruhy hyperboly
• Obdĺžniková hyperbola
• Parametrické znázornenie hyperboly
• Hyperbola Trieda 11
• Vyriešené príklady na Hyperbole
• Cvičné problémy na Hyperbole

Čo je Hyperbola?

Hyperbola je miesto bodov, ktorých rozdiel vo vzdialenostiach od dvoch ohnísk je pevnou hodnotou. Tento rozdiel sa získa odpočítaním vzdialenosti bližšieho ohniska od vzdialenosti vzdialenejšieho ohniska.

Ak P (x, y) je bod na hyperbole a F, F' sú dve ohniská, potom je miesto hyperboly

PF – PF' = 2a

Poznámka: Pozrite si diagram pridaný v odvodení pre obrázok.

Definícia hyperboly

V analytickej geometrii je hyperbola typom kužeľosečky vytvorenej, keď rovina pretína obe polovice dvojitého pravého kruhového kužeľa pod uhlom . Výsledkom tohto priesečníka sú dve samostatné, neohraničené krivky, ktoré sú vzájomnými zrkadlovými obrazmi a tvoria hyperbolu.

Hyperbola rovnica

Rovnica hyperboly v jej štandardnej forme závisí od jej orientácie a od toho, či je centrovaná v počiatku alebo inom bode. Tu sú dve primárne formy pre hyperboly so stredom v počiatku, jedna sa otvára horizontálne a druhá vertikálne:

X ² /a ² - a ² /b ² = 1

Táto rovnica predstavuje hyperbolu, ktorá sa otvára doľava a doprava. Body (±a,0) sú vrcholy hyperboly umiestnené na osi x.

Časti Hyperboly

Hyperbola je kužeľosečka, ktorá sa vytvorí, keď rovina vyreže dvojitý pravý kruhový kužeľ pod takým uhlom, že obe polovice kužeľa sú spojené. Dá sa opísať pomocou pojmov ako foci, directrix, latus rectum a excentricita.

Výstrednosť hyperboly

Excentricita hyperboly je pomer vzdialenosti bodu od ohniska k jeho kolmej vzdialenosti od smerovej čiary. Označuje sa písmenom „ to je '.

• Excentricita hyperboly je vždy väčšia ako 1, t.j. e>1.
• Excentricitu hyperboly môžeme ľahko nájsť podľa vzorca:

e = √[1 + (b ² /a ² )]

kde,

• a je dĺžka hlavnej poloosi
• b je dĺžka vedľajšej osi

Čítaj viac: Výstrednosť

Štandardná rovnica hyperboly

Štandardné rovnice hyperboly sú:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ALEBO

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hyperbola má dve štandardné rovnice. Tieto rovnice hyperboly sú založené na jej priečnej osi a konjugovanej osi.

štátov v USA

• Štandardná rovnica hyperboly je [(x²/a²) - (a²/b²)] = 1, kde os X je priečna os a os Y je konjugovaná os.
• Okrem toho ďalšia štandardná rovnica hyperboly je [(y²/a²)- (X²/b²)] = 1, kde os Y je priečna os a os X je konjugovaná os.
• Štandardná rovnica hyperboly so stredom (h, k) a osou X ako priečnou osou a osou Y ako konjugovanou osou,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Okrem toho ďalšia štandardná rovnica hyperboly so stredom (h, k) a osou Y ako priečnou osou a osou X ako konjugovanou osou je

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Pravá strana Hyperboly

Latus rectum hyperboly je čiara prechádzajúca cez ktorékoľvek ohnisko hyperboly a kolmá na priečnu os hyperboly. Koncové body latus rectum ležia na hyperbole a jej dĺžka je 2b²/a.

Odvodenie rovnice hyperboly

Uvažujme bod P na hyperbole, ktorého súradnice sú (x, y). Z definície hyperboly vieme, že rozdiel medzi vzdialenosťou bodu P od dvoch ohnísk F a F’ je 2a, t.j. PF’-PF = 2a.

Nech sú súradnice ohnísk F (c, o) a F ‘(-c, 0).

Teraz pomocou vzorca súradnicovej vzdialenosti môžeme nájsť vzdialenosť bodu P (x, y) k ohniskám F (c, 0) a F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (a – 0)²] – √[(x – c)²+ (a – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ a²] = 2a + √[(x – c)²+ a²]

Teraz, kvadratúrou oboch strán, dostaneme

(x + c)²+ a²= 4a²+ (x – c)²+ a²+ 4a√[(x – c)²+ a²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ a²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ a²]

Teraz, kvadratúrou na obe strany a zjednodušením, dostaneme

[(X²/a²) - (a²/(c²– a²))] = 1

Máme, c²= a²+ b², takže dosadením do vyššie uvedenej rovnice dostaneme

X²/a²- a²/b²= 1

Preto je odvodená štandardná rovnica hyperboly.

Podobne môžeme odvodiť štandardné rovnice inej hyperboly, t.j. [y²/a²- X²/b²] = 1

Formula Hyperbola

Nasledujúce vzorce hyperboly sa široko používajú pri hľadaní rôznych parametrov hyperboly, medzi ktoré patrí rovnica hyperboly, hlavná a vedľajšia os, excentricita, asymptoty, vrchol, ohniská a semi-latus konečník.

Kde,

• ( X₀a₀) je stredový bod
• a je polohlavná os
• b je vedľajšia os.

Graf hyperboly

Hyperbola je krivka, ktorá má dve neohraničené krivky, ktoré sú vzájomnými zrkadlovými obrazmi. Graf hyperboly ukazuje túto krivku v 2-D rovine. Môžeme pozorovať rôzne časti hyperboly v grafoch hyperboly pre štandardné rovnice uvedené nižšie:

Rovnica hyperboly	Graf Hyperbola	Parametre Hyperboly
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Súradnice stredu: (0, 0) Súradnice vrcholu: (a, 0) a (-a, 0) Súradnice ohniskov: (c, 0) a (-c, 0) Dĺžka priečnej osi = 2a Dĺžka konjugovanej osi = 2b Dĺžka latus rectum = 2b2/a Rovnice asymptot: y = (b/a) x a y = -(b/a) x Excentricita (e) = √[1 + (b2/a2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Súradnice stredu: (0, 0) Súradnice vrcholu: (0, a) a (0, -a) Súradnice ohniskov: (0, c) a (0, -c) Dĺžka priečnej osi = 2b Dĺžka konjugovanej osi = 2a Dĺžka latus rectum = 2b2/a Rovnice asymptot: y = (a/b) x a y = -(a/b) x Excentricita (e) = √[1 + (b2/a2)]

Konjugovaná hyperbola

Konjugovaná hyperbola sú 2 hyperboly tak, že priečna a združená os jednej hyperboly sú združenou a priečnou osou druhej hyperboly.

Konjugovaná hyperbola (x²/ a²) - (a²/b²) = 1 je,

(X ² / a ² ) - (a ² / b ² ) = 1

Kde,

• a je hlavná os
• b je vedľajšia os
• to je je excentricita Paraboly
• a ² = b ² (To je ² − 1)

Vlastnosti Hyperbola

• Ak sú excentricity hyperboly a jej konjugátu napr₁a e₂potom,

(1 a ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• Ohniská hyperboly a jej konjugátu sú koncyklické a tvoria vrcholy štvorca.
• Hyperboly sú rovnaké, ak majú rovnaký latus rectum.

Pomocné kruhy hyperboly

Pomocná kružnica je kružnica, ktorá je nakreslená so stredom C a priemerom ako priečna os hyperboly. Pomocný kruh rovnice hyperboly je,

X ² + a ² = a ²

Obdĺžniková hyperbola

Hyperbola s priečnou osou 2a jednotiek a konjugovanou osou 2b jednotiek rovnakej dĺžky sa nazýva obdĺžniková hyperbola. t.j. v pravouhlej hyperbole,

2a = 2b

⇒ a = b

Rovnica obdĺžnikovej hyperboly je daná takto:

X ² - a ² = a ²

Poznámka: Excentricita pravouhlej hyperboly je √2.

Parametrické znázornenie hyperboly

Parametrické zobrazenie pomocných kružníc hyperboly je:

x = a sek θ, y = b tan θ

Ľudia tiež čítajú

• Kužeľová časť
• Parabola
• Kruh
• Elipsa

Hyperbola Trieda 11

V matematike triedy 11 je štúdium hyperbol súčasťou kužeľosečiek v analytickej geometrii. Pochopenie hyperbol na tejto úrovni zahŕňa skúmanie ich definície, štandardných rovníc, vlastností a rôznych prvkov s nimi spojených.

Učebné osnovy triedy 11 zvyčajne zahŕňajú odvodenie týchto rovníc a vlastností, skicovanie hyperbol na základe daných rovníc a riešenie problémov súvisiacich s prvkami a polohami hyperboly. Zvládnutie týchto konceptov poskytuje pevný základ v oblasti analýzy geometria , pripravuje študentov na ďalšie štúdium matematiky a príbuzných odborov.

Zhrnutie – Hyperbola

Hyperbola je typ kužeľosečky, ktorá vzniká, keď rovina pretína kužeľ pod takým uhlom, že vznikajú dve samostatné krivky. Hyperbola, charakterizovaná svojou zrkadlovou symetriou, pozostáva z dvoch oddelených vetiev, z ktorých každá je zakrivená smerom od druhej. Dá sa definovať matematicky v súradnicovej rovine pomocou štandardnej rovnice, ktorá sa mení na základe jej orientácie – buď horizontálnej alebo vertikálnej – a či je jej stred v počiatku alebo inom bode.

Štandardné formuláre sú X ² /a ² - a ² /b ² = 1 pre horizontálne otvorenie hyperboly a a ² /a ² - X ² /b ² = 1 pre jeden otvor vertikálne, s variáciami na prispôsobenie stredu posunutému do (h,k). Kľúčové vlastnosti hyperbol zahŕňajú vrcholy, najbližšie body na každej vetve k stredu; ohniská, body, od ktorých vzdialenosti k ľubovoľnému bodu na hyperbole majú konštantný rozdiel; a asymptoty, čiary, ku ktorým sa vetvy približujú, ale nikdy sa ich nedotýkajú.

Vlastnosti hyperbol ich robia významnými v rôznych oblastiach, vrátane astronómie, fyziky a inžinierstva, pre modelovanie a analýzu hyperbolických trajektórií a správania.

Vyriešené príklady na Hyperbole

Otázka 1: Určte excentricitu hyperboly x ² /64 – a ² /36 = 1.

Riešenie:

Rovnica hyperboly je x²/64 – a²/36 = 0

Porovnaním danej rovnice so štandardnou rovnicou hyperboly x²/a²- a²/b²= 1, dostaneme

a²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Máme,

Excentricita hyperboly (e) = √(1 + b²/a²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Excentricita danej hyperboly je teda 1,25.

Otázka 2: Ak je rovnica hyperboly [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, nájdite dĺžky hlavnej osi, vedľajšej osi a latus rectum.

Riešenie:

Rovnica hyperboly je [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Porovnaním danej rovnice so štandardnou rovnicou hyperboly (x – h)²/a²– (a – k)²/b²= 1

Tu je x = 4 hlavná os a y = 3 je vedľajšia os.

a²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Dĺžka hlavnej osi = 2a = 2 × (5) = 10 jednotiek

Dĺžka vedľajšej osi = 2b = 2 × (3) = 6 jednotiek

Dĺžka latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 jednotiek

Otázka 3: Nájdite vrchol, asymptotu, hlavnú os, vedľajšiu os a smerovú čiaru, ak rovnica hyperboly je [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Riešenie:

Rovnica hyperboly je [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Porovnaním danej rovnice so štandardnou rovnicou hyperboly, (x – h)²/a²– (a – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Vrchol hyperboly: (h + a, k) a (h – a, k) = (13, 2) a (-1, 2)

Hlavná os Hyperboly je x = h x = 6

Vedľajšia os Hyperboly je y = k y = 2

Rovnice asymptot hyperboly sú

y = k − (b / a) x + (b / a) ha y = k+ (b / a) x – (b / a) h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 a y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 a y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x a y = -1,43 + 0,57x

Rovnica smerovej čiary hyperboly je x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Otázka 4: Nájdite excentricitu hyperboly, ktorej latus rectum je polovicou jej konjugovanej osi.

Riešenie:

Dĺžka latus rectum je polovica jeho konjugovanej osi

Nech rovnica hyperboly je [(x²/ a²) - (a²/ b²)] = 1

Konjugovaná os = 2b

Dĺžka Latus rectum = (2b²/ a)

Z uvedených údajov (2b²/ a) = (1/2) x 2b

2b = a

Máme,

Excentricita hyperboly (e) = √[1 + (b²/a²)]

Teraz dosaďte a = 2b do vzorca excentricity

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √ (5/4)

⇒ e = √5/2

Požadovaná excentricita je teda √5/2.

Cvičné problémy na Hyperbole

P1. Nájdite rovnicu štandardného tvaru hyperboly s vrcholmi (-3, 2) a (1, 2) a ohniskovou vzdialenosťou 5.

P2. Určte stred, vrcholy a ohniská hyperboly pomocou rovnice 9x ² – 4r ² = 36.

P3. Vzhľadom na hyperbolu s rovnicou (x – 2) ² /16 – (a + 1) ² /9 = 1, nájdite súradnice jeho stredu, vrcholov a ohnísk.

P4. Napíšte rovnicu hyperboly s vodorovnou hlavnou osou, stredom v (0, 0), vrcholom v (5, 0) a ohniskom v (3, 0).

Hyperbola – často kladené otázky

Čo je hyperbola v matematike?

Miesto bodu v rovine tak, že pomer jeho vzdialenosti od pevného bodu k vzdialenosti od pevnej čiary je konštanta väčšia ako 1, sa nazýva hyperbola.

Čo je štandardná rovnica hyperboly?

Štandardná rovnica hyperboly je

(X ² /a ² ) - (a ² /b ² ) = 1

zoznam v jazyku Java

Čo je to excentricita hyperboly?

Excentricita hyperboly je pomer vzdialenosti bodu od ohniska k jeho kolmej vzdialenosti od smerovej čiary. Pre Hyperbolu je excentricita vždy väčšia ako 1.

Čo je vzorec excentricity hyperboly?

Vzorec pre excentricitu hyperboly je e = √(1 + (b ² /a ² ))

Čo sú Foci z Hyperboly?

Hyperbola má dve ohniská. Pre hyperbolu (x²/a²) - (a²/b²) = 1, ohniská sú dané (ae, 0) a (-ae, 0)

Čo je priečna os hyperboly?

Pre hyperbolu (x²/a²) - (a²/b²) = 1, priečna os je pozdĺž osi x. Jeho dĺžka je daná 2a. Čiara prechádzajúca stredom a ohniskami hyperboly sa nazýva priečna os hyperboly.

Čo sú asymptoty hyperboly?

Čiary rovnobežné s hyperbolou, ktoré sa stretávajú s hyperbolou v nekonečne, sa nazývajú asymptoty hyperboly.

Koľko asymptotov má Hyperbola?

Hyperbola má 2 asymptoty. Asymptoty je priamka dotyčnica k hyperbole, ktorá sa stretáva s hyperbolou v nekonečne.

Na čo sa Hyperbola používa?

Hyperboly nachádzajú uplatnenie v rôznych oblastiach, ako je astronómia, fyzika, inžinierstvo a ekonómia. Používajú sa okrem iného v satelitných trajektóriách, rádiových prenosoch, delostreleckom zameraní, finančnom modelovaní a nebeskej mechanike.

Aký je rozdiel medzi Parabolou a Hyperbolou v štandardnej forme?

V štandardnej forme rovnica paraboly obsahuje členy umocnené na 1 a 2, zatiaľ čo rovnica hyperboly obsahuje členy umocnené na 2 a -2. Parabola je tiež charakterizovaná jedným zaostrovacím bodom, zatiaľ čo hyperbola má dva.

Čo je základná rovnica hyperbolového grafu?

Základná rovnica hyperbolového grafu je:

(x – h)²/ a²– (a – k)²/ b²= 1

Alebo

(a – k)²/ b²– (x – h)²/ a²= 1

Aké sú typy hyperboly?

Hyperboly možno rozdeliť do troch typov na základe ich orientácie: horizontálne, vertikálne a šikmé hyperboly.

Ako identifikujete rovnicu Hyperbola?

Hyperbolická rovnica zvyčajne zahŕňa pojmy s oboma X a a premenných, s rozdielom medzi druhými mocninami X a a koeficienty, pričom koeficienty týchto pojmov sú kladné a záporné.

Aký je vzorec B v Hyperbole?

V štandardnej forme rovnice hyperboly, B predstavuje dĺžku konjugovanej osi a jej vzorec je B = 2 b , kde b je vzdialenosť od stredu k vrcholom pozdĺž konjugovanej osi.

Ako nakresliť hyperbolu?

Ak chcete nakresliť hyperbolu, zvyčajne začnete vykreslením stredového bodu, potom označíte vrcholy, ohniská, asymptoty a ďalšie kľúčové body na základe danej rovnice alebo vlastností. Nakoniec načrtnite krivky hyperboly pomocou týchto bodov ako vodítok.