Ostré, tupé, rovnoramenné, rovnostranné... Pokiaľ ide o trojuholníky, existuje veľa rôznych odrôd, ale len niekoľko z nich je „špeciálnych“. Tieto špeciálne trojuholníky majú strany a uhly, ktoré sú konzistentné a predvídateľné a dajú sa použiť na skrátenie vašej cesty cez vaše problémy s geometriou alebo trigonometriou. A trojuholník 30-60-90 – vyslovuje sa „tridsať šesťdesiat deväťdesiat“ – je skutočne veľmi zvláštnym typom trojuholníka.

V tejto príručke vás prevedieme tým, čo je trojuholník 30-60-90, prečo funguje a kedy (a ako) využiť svoje znalosti o ňom. Tak poďme na to!

Čo je trojuholník 30-60-90?

Trojuholník 30-60-90 je špeciálny pravouhlý trojuholník (pravouhlý trojuholník je akýkoľvek trojuholník, ktorý obsahuje uhol 90 stupňov), ktorý má vždy uhly 30 stupňov, 60 stupňov a 90 stupňov. Pretože ide o špeciálny trojuholník, má tiež hodnoty dĺžky strán, ktoré sú vždy vo vzájomnom súlade.

Základný pomer trojuholníkov 30-60-90 je:

Strana oproti 30° uhlu: $x$

Strana oproti uhlu 60°: $x * √3$

Strana oproti 90° uhlu: x$

Napríklad trojuholník 30-60-90 stupňov môže mať dĺžku strán:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

násobenie matíc v c

(Prečo je dlhšia časť 3? V tomto trojuholníku je najkratšia časť ($x$) $√3$, takže pre dlhšiu časť je $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. A prepona je 2-násobok najkratšej nohy alebo √3$)

A tak ďalej.

Strana oproti 30° uhlu je vždy najmenšia , pretože 30 stupňov je najmenší uhol. Strana oproti 60° uhlu bude mať strednú dĺžku , pretože 60 stupňov je stredne veľký uhol stupňov v tomto trojuholníku. A nakoniec, strana oproti uhlu 90° bude vždy najväčšia strana (prepona) pretože 90 stupňov je najväčší uhol.

Hoci to môže vyzerať podobne ako iné typy pravouhlých trojuholníkov, dôvod, prečo je trojuholník 30-60-90 taký výnimočný, je ten, že na nájdenie každého druhého merania potrebujete iba tri informácie. Pokiaľ poznáte hodnotu dvoch uhlových mier a dĺžky jednej strany (nezáleží na tom, na ktorej strane), viete všetko, čo potrebujete vedieť o svojom trojuholníku.

Napríklad môžeme použiť vzorec trojuholníka 30-60-90 na vyplnenie všetkých zostávajúcich informačných prázdnych miest v trojuholníkoch nižšie.

Príklad 1

Vidíme, že ide o pravouhlý trojuholník, v ktorom je prepona dvakrát väčšia ako dĺžka jednej z nôh. To znamená, že to musí byť trojuholník 30-60-90 a menšia daná strana je oproti 30°.

Dlhšia noha preto musí byť oproti uhlu 60° a merať * √3$ alebo √3$.

Príklad 2

numpy sumácia

Môžeme vidieť, že to musí byť trojuholník 30-60-90, pretože vidíme, že toto je pravouhlý trojuholník s jedným daným rozmerom, 30°. Neoznačený uhol potom musí byť 60°.

Keďže 18 je miera oproti uhlu 60°, musí sa rovnať $x√3$. Najkratšia noha potom musí merať /√3$.

(Všimnite si, že dĺžka vetvy bude v skutočnosti /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, pretože menovateľ nemôže obsahovať radikál/druhú odmocninu).

A prepona bude (18/√3)$

(Všimnite si, že opäť nemôžete mať v menovateli radikál, takže konečná odpoveď bude skutočne 2-násobok dĺžky nohy √3$ => √3$).

Príklad 3

Opäť máme dve merania uhla (90° a 60°), takže tretia miera bude 30°. Pretože toto je trojuholník 30-60-90 a prepona je 30, najkratšia vetva sa bude rovnať 15 a dlhšia vetva sa bude rovnať 15√3.

Nie je potrebné konzultovať magickú osmičku – tieto pravidlá vždy fungujú.

Prečo to funguje: dôkaz 30-60-90 trojuholníkovej vety

Prečo však tento špeciálny trojuholník funguje tak, ako funguje? Ako vieme, že tieto pravidlá sú legitímne? Prejdime si, ako presne funguje veta o trojuholníku 30-60-90 a dokážme, prečo budú tieto dĺžky strán vždy konzistentné.

Najprv na chvíľu zabudnime na pravouhlé trojuholníky a pozrime sa na rovnostranný trojuholník.

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, ktorý má všetky rovnaké strany a všetky rovnaké uhly. Pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy 180° a 0/3 = 60 $, rovnostranný trojuholník bude mať vždy tri 60° uhly.

Teraz znížme výšku od najvyššieho uhla k základni trojuholníka.

Teraz máme vytvoril dva pravé uhly a dva zhodné (rovnaké) trojuholníky.

Ako vieme, že sú to rovnaké trojuholníky? Pretože sme spadli z výšky rovnostranný trojuholník, základ sme rozdelili presne na polovicu. Nové trojuholníky tiež zdieľajú jednu dĺžku strany (výšku) a každý z nich má rovnakú dĺžku prepony. Pretože majú spoločné tri dĺžky strán (SSS), znamená to trojuholníky sú zhodné.

Poznámka: Tieto dva trojuholníky nie sú len zhodné na základe princípov dĺžok strany-strana-strana alebo SSS, ale tiež založené na mierach strany-uhol-strana (SAS), uhol-uhol-strana (AAS) a uhol- bočný uhol (ASA). V podstate? Určite sa zhodujú.

Teraz, keď sme dokázali zhodnosť dvoch nových trojuholníkov, môžeme vidieť, že každý z horných uhlov musí byť rovný 30 stupňom (pretože každý trojuholník už má uhly 90° a 60° a ich súčet musí byť 180°). To znamená vytvorili sme dva trojuholníky 30-60-90.

A pretože vieme, že sme rozrezali základňu rovnostranného trojuholníka na polovicu, môžeme vidieť, že strana oproti uhlu 30° (najkratšia strana) každého z našich trojuholníkov 30-60-90 je presne polovica dĺžky prepony. .

Nazvime teda našu pôvodnú dĺžku strany $x$ a našu rozdelenú dĺžku $x/2$.

Teraz nám zostáva len nájsť dĺžku strednej strany, ktorú tieto dva trojuholníky zdieľajú. Na to môžeme jednoducho použiť Pytagorovu vetu.

vytvorenie spustiteľného skriptu shellu

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 – {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Zostáva nám teda: $x/2, {x√3}/2, x$

Teraz vynásobme každú mieru 2, len aby sme si uľahčili život a vyhli sa všetkým zlomkom. Takto nám zostáva:

$x$, $x√3$, x$

Môžeme teda vidieť, že trojuholník 30-60-90 bude vždy majú konzistentné dĺžky strán $x$, $x√3$ a x$ (alebo $x/2$, ${√3x}/2$ a $x$).

Našťastie pre nás môžeme dokázať pravdivosť pravidiel trojuholníka 30-60-90 bez toho všetkého.

Kedy použiť pravidlá trojuholníka 30-60-90

Znalosť pravidiel trojuholníka 30-60-90 vám ušetrí čas a energiu na množstvo rôznych matematických problémov, konkrétne na širokú škálu problémov s geometriou a trigonometriou.

Geometria

Správne pochopenie trojuholníkov 30-60-90 vám umožní vyriešiť geometrické otázky, ktoré by nebolo možné vyriešiť bez znalosti týchto pomerových pravidiel, alebo by prinajmenšom vyžadovalo značný čas a úsilie na vyriešenie „dlhej cesty“.

Pomocou špeciálnych pomerov trojuholníkov môžete zistiť chýbajúce výšky trojuholníkov alebo dĺžky nôh (bez toho, aby ste museli použiť Pytagorovu vetu), nájsť plochu trojuholníka pomocou chýbajúcej informácie o výške alebo dĺžke základne a rýchlo vypočítať obvody.

Kedykoľvek potrebujete rýchlosť na zodpovedanie otázky, zapamätanie si skratiek, ako sú vaše pravidlá 30-60-90, príde vhod.

konverzia int na reťazec

Trigonometria

Zapamätanie a pochopenie pomeru trojuholníkov 30-60-90 vám tiež umožní vyriešiť mnoho problémov s trigonometriou bez potreby kalkulačky alebo potreby aproximácie vašich odpovedí v desatinnej forme.

Trojuholník 30-60-90 má pomerne jednoduché sínusy, kosínusy a dotyčnice pre každý uhol (a tieto merania budú vždy konzistentné).

Sínus 30° bude vždy $ 1/2 $.

Kosínus 60° bude vždy 1/2 $.

Hoci ostatné sínusy, kosínusy a dotyčnice sú pomerne jednoduché, sú to dva, ktoré sa najľahšie zapamätajú a pravdepodobne sa ukážu pri testoch. Takže znalosť týchto pravidiel vám umožní nájsť tieto trigonometrické merania čo najrýchlejšie.

Tipy na zapamätanie pravidiel 30-60-90

Viete, že tieto pravidlá pomeru 30-60-90 sú užitočné, ale ako si udržať informácie v hlave? Zapamätanie si pravidiel trojuholníka 30-60-90 je vecou zapamätania si pomeru 1: √3: 2 a vedomia, že najkratšia dĺžka strany je vždy oproti najkratšiemu uhlu (30°) a najdlhšia dĺžka strany je vždy oproti najväčší uhol (90°).

Niektorí ľudia si zapamätajú pomer tým, že si myslia: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, “ pretože postupnosť „1, 2, 3“ je zvyčajne ľahko zapamätateľná. Jediným opatrením pri používaní tejto techniky je zapamätať si, že najdlhšia strana je v skutočnosti x$, nie $x$ krát $√3$.

Ďalším spôsobom, ako si zapamätať svoje pomery, je použite mnemotechnickú slovnú hračku v pomere 1: koreň 3: 2 v správnom poradí. Napríklad 'Jackie Mitchell škrtla Lou Gehrig a 'vyhrala aj Ruthy'': jedna, odmocnina tri, dva. (A je to skutočný fakt z histórie baseballu!)

Pohrajte sa so svojimi vlastnými mnemotechnickými pomôckami, ak vás tieto neoslovujú – zaspievajte si pomer k piesni, nájdite si vlastné frázy „jedna, odmocnina tri, dva“ alebo vymyslite báseň s pomerom. Môžete si dokonca zapamätať, že trojuholník 30-60-90 je polovica rovnostranného a odtiaľ zistiť miery, ak sa vám nepáči zapamätať si ich.

Avšak dáva vám zmysel zapamätať si tieto pravidlá 30-60-90, ponechajte si tieto pomery v hlave pre budúce otázky týkajúce sa geometrie a trigonometrie.

Zapamätanie je váš priateľ, ale môžete to urobiť.

Príklad 30-60-90 otázok

Teraz, keď sme sa pozreli na to, ako a prečo trojuholníky 30-60-90, poďme prejsť niekoľkými praktickými problémami.

strsep

Geometria

Stavebný robotník opiera 40-metrový rebrík o bok budovy pod uhlom 30 stupňov nad zemou. Pozemok je rovný a strana budovy je kolmá na terén. Ako ďaleko v budove siaha rebrík k ​​najbližšej stope?

Bez znalosti našich špeciálnych pravidiel pre trojuholníky 30-60-90 by sme museli použiť trigonometriu a kalkulačku, aby sme našli riešenie tohto problému, keďže máme len jednu stranu trojuholníka. Ale pretože vieme, že toto je a špeciálne trojuholník, môžeme nájsť odpoveď v priebehu niekoľkých sekúnd.

Ak sú budova a zem na seba kolmé, musí to znamenať, že budova a zem zvierajú pravý (90°) uhol. Je tiež dané, že rebrík sa dotýka zeme v uhle 30°. Môžeme teda vidieť, že zostávajúci uhol musí byť 60°, čo z neho robí trojuholník 30-60-90.

Teraz vieme, že prepona (najdlhšia strana) tejto 30-60-90 je 40 stôp, čo znamená, že najkratšia strana bude mať polovicu tejto dĺžky. (Pamätajte, že najdlhšia strana je vždy dvakrát – x$ – taká dlhá ako najkratšia strana.) Pretože najkratšia strana je oproti uhlu 30° a tento uhol je miera stupňa rebríka od zeme, znamená to, že horná časť rebríka dopadá na budovu 20 stôp nad zemou.

Naša konečná odpoveď je 20 stôp.

Trigonometria

Ak je v pravouhlom trojuholníku sin Θ = /2$ a najkratšia dĺžka nohy je 8. Aká je dĺžka chýbajúcej strany, ktorá NIE JE preponou?

Pretože poznáte svoje pravidlá 30-60-90, môžete tento problém vyriešiť bez toho, aby ste potrebovali pytagorovu vetu alebo kalkulačku.

Bolo nám povedané, že toto je pravouhlý trojuholník a z našich špeciálnych pravidiel pre pravouhlý trojuholník vieme, že sínus 30° = /2$. Chýbajúci uhol preto musí byť 60 stupňov, čo z neho robí trojuholník 30-60-90.

A pretože toto je trojuholník 30-60-90 a bolo nám povedané, že najkratšia strana je 8, prepona musí byť 16 a chýbajúca strana musí byť * √3$ alebo √3$.

Naša konečná odpoveď je 8√3.

Take-Aways

Spomienka na pravidlá pre trojuholníky 30-60-90 vám pomôžu skrátiť si cestu cez rôzne matematické problémy . Majte však na pamäti, že aj keď je znalosť týchto pravidiel užitočným nástrojom na udržanie v páse, väčšinu problémov môžete vyriešiť aj bez nich.

Sledujte pravidlá $x$, $x√3$, x$ a 30-60-90 akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám dáva zmysel, a snažte sa ich dodržiavať, ak môžete, ale neprepadajte panike. prázdne miesta, keď je čas krízy. Tak či onak, máš to.

A ak potrebujete viac praxe, pokračujte a vyskúšajte toto Trojuholníkový kvíz 30-60-90 . Príjemné skúšanie!