DOT AND CROSS PRODUCTS NA VEKTOROCH - TECHCODEVIEW.COM

Veličina, ktorá je charakterizovaná nielen veľkosťou, ale aj smerom, sa nazýva vektor. Rýchlosť, sila, zrýchlenie, hybnosť atď. sú vektory.

Vektory je možné násobiť dvoma spôsobmi:

Skalárny súčin alebo bodový súčin
Vektorový produkt alebo krížový produkt

Obsah

Skalárny súčin/bodový súčin vektorov

Projekcia jedného vektora na druhý vektor

Vlastnosti skalárneho produktu
Nerovnosti na základe bodového produktu
Krížový súčin/vektorový súčin vektorov

Vlastnosti krížového produktu
Krížový produkt vo forme determinantu

Dot and Cross Product
Časté otázky týkajúce sa bodových a krížových produktov na vektoroch

Skalárny súčin/bodový súčin vektorov

Výsledný skalárny súčin/bodový súčin dvoch vektorov je vždy skalárna veličina. Zvážte dva vektory a a b . Skalárny súčin sa vypočíta ako súčin veličín a, b a kosínusu uhla medzi týmito vektormi.

Skalárny súčin = |a||b| čos α

Tu,

|a| = veľkosť vektora a,
|b| = veľkosť vektora b , a
α = uhol medzi vektormi.

Vektory a a b s uhlom α medzi sebou

mapa v jave

Projekcia jedného vektora na druhý vektor

Vektor a možno premietnuť na čiaru l, ako je znázornené nižšie:

CD = premietanie vektora a na vektor b

Z vyššie uvedeného obrázku je zrejmé, že môžeme premietnuť jeden vektor cez druhý vektor. AC je veľkosť vektora A. Na obrázku vyššie je AD nakreslený kolmo na priamku l. CD predstavuje projekciu vektora a na vektore b .

Trojuholník ACD je teda pravouhlý trojuholník a môžeme použiť trigonometrické vzorce.

Ak α je miera uhla ACD, potom

cos α = CD/AC

alebo CD = AC čos a

Z obrázku je zrejmé, že CD je projekcia vektora a na vektor b

Môžeme teda dospieť k záveru, že jeden vektor možno premietnuť cez druhý vektor pomocou kosínusu uhla medzi nimi.

Vlastnosti skalárneho produktu

Skalárny súčin dvoch vektorov je vždy reálne číslo (skalár).
Skalárny súčin je komutatívny, t.j. a.b =b.a= |a||b| čos α
Ak α je 90°, potom je skalárny súčin nula, pretože cos(90) = 0. Skalárny súčin jednotkových vektorov v smeroch x, y je teda 0.
Ak α je 0°, potom skalárny súčin je súčinom veľkostí a a b |a||b|.
Skalárny súčin jednotkového vektora so sebou samým je 1.
Skalárny súčin vektora a so sebou samým je |a|²
Ak α je 180⁰, skalárny súčin pre vektory a a b je -|a||b|
Skalárny súčin je distribučný cez sčítanie

a. ( b + c ) = a.b + a.c

Pre akékoľvek skalárne k a m potom

l a. (m b ) = km a.b

Ak je tvar komponentov vektorov daný ako:

a = a₁x + a₂a + a₃S

b = b₁x + b₂y + b₃S

potom skalárny súčin je daný ako

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

Skalárny súčin je nula v nasledujúcich prípadoch:
- Veľkosť vektora a je nulová
- Veľkosť vektora b je nulová
- Vektory a a b sú na seba kolmé

Nerovnosti na základe bodového produktu

Existujú rôzne nerovnosti založené na bodovom súčine vektorov, ako napríklad:

Cauchy – Schwartzova nerovnosť
Trojuholníková nerovnosť

Poďme o nich podrobne diskutovať takto:

Cauchy – Schwartzova nerovnosť

Podľa tohto princípu pre ľubovoľné dva vektory a a b , veľkosť bodového súčinu je vždy menšia alebo rovná súčinu veľkostí vektora a a vektora b

|a.b| ≤ |a| |b|

dôkaz:

Pretože a.b = |a| |b| čos α

Vieme, že 0

Takže sme dospeli k záveru, že |a.b| ≤ |a| |b|

Trojuholníková nerovnosť

Pre ľubovoľné dva vektory a a b , máme vždy

| a + b | ≤ | a | + | b |

Trojuholníková nerovnosť

dôkaz:

| a + b |²=| a + b || a + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | a |²+ 2 a.b +| b |²(bodový súčin je komutatívny)

≤ | a |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

To dokazuje, že | a + b | ≤ | a | + | b|

Príklady bodového súčinu vektorov

Príklad 1. Uvažujme dva vektory také, že |a|=6 a |b|=3 a α = 60°. Nájdite ich bodový produkt.

Riešenie:

a.b = |a| |b| čos α

takže, a.b = 6,3.cos (60°)

=18 (1/2)

a.b = 9

Príklad 2. Dokážte, že vektory a = 3i+j-4k a vektor b = 8i-8j+4k sú kolmé.

Riešenie :

Vieme, že vektory sú kolmé, ak ich bodový súčin je nula

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 = 0

Keďže skalárny súčin je nula, môžeme konštatovať, že vektory sú na seba kolmé.

Krížový súčin/vektorový súčin vektorov

Čitatelia už poznajú trojrozmerný pravouhlý pravouhlý súradnicový systém. V tomto systéme rotácia osi x proti smeru hodinových ručičiek do kladnej osi y naznačuje, že pravotočivá (štandardná) skrutka by sa posunula v smere kladnej osi z, ako je znázornené na obrázku.

3D pravouhlý súradnicový systém

The vektorový produkt alebo krížový produkt dvoch vektorov a a b s uhlom α medzi nimi sa matematicky vypočíta ako

a × b = |a| |b| bez α

Je potrebné poznamenať, že krížový súčin je vektor so špecifikovaným smerom. Výslednica je vždy kolmá na a aj b.

Tiež, ak sú dané dva vektory,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)amathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), ich krížový súčin, označený a × b, sa vypočíta takto:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

V prípade, že a a b sú paralelné vektory, výslednica bude nula, pretože sin(0) = 0

Vlastnosti krížového produktu

Cross Product generuje vektorové množstvo. Výslednica je vždy kolmá na a aj b.
Krížový súčin paralelných vektorov/kolineárnych vektorov je nula, pretože sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

Krížový súčin dvoch navzájom kolmých vektorov s jednotkovou veľkosťou je jednotný. (Keďže sin(0)=1)
Krížový súčin nie je komutatívny.

a × b sa nerovná b × a

Krížový produkt je distribučný cez sčítanie

a × ( b + c ) = a × b + a × c

Ak k je skalár, potom

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

Pohybom v smere hodinových ručičiek a krížovým súčinom ľubovoľných dvoch párov jednotkových vektorov dostaneme tretí a proti smeru hodinových ručičiek zápornú výslednicu.

Prekrížte produkt v smere a proti smeru hodinových ručičiek

Je možné stanoviť nasledujúce výsledky:

i × j = k	j × k = i	k × i = j
j × i = -k	i × k= -j	k × j = -i

Krížový produkt vo forme determinantu

Ak je vektor a je reprezentovaný ako a = a1x + a2y + a3z a vektor b je reprezentovaný ako b = b1x + b2y + b3z

Potom krížový produkt a × b možno vypočítať pomocou tvaru determinantu

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

potom a × b = x(a₂b₃– b₂a₃) + y (a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Ak a a b sú susedné strany rovnobežníka OXYZ a α je uhol medzi vektormi a a b.

Potom je plocha rovnobežníka daná | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektory a a b ako susedné strany rovnobežníka

Príklady z C ružový produkt spoločnosti Vectors

Príklad 1. Nájdite krížový súčin dvoch vektorov a a b, ak ich veľkosti sú 5 a 10. Vzhľadom na to, že uhol medzi tým je 30°.

Riešenie:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 kolmo na a a b

Príklad 2. Nájdite obsah rovnobežníka, ktorého priľahlé strany sú

a = 4i+2j-3k

b = 2 i + j-4k

Riešenie :

Plocha sa vypočíta nájdením krížového súčinu susedných strán

a × b = x (a₂b₃– b₂a₃) + y (a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)
dfs algoritmus

= -5i + 10j

Preto je veľkosť plochysqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}