Slávny matematik DeMorgan vynašiel dve najdôležitejšie vety booleovej algebry. DeMorganove vety sa používajú na matematické overenie ekvivalencie brán NOR a záporného AND a záporného OR a NAND brán. Tieto vety hrajú dôležitú úlohu pri riešení rôznych výrazov booleovskej algebry. V nižšie uvedenej tabuľke je definovaná logická operácia pre každú kombináciu vstupnej premennej.
| Vstupné premenné | Výstupná podmienka | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A | NAND | ALEBO | NOR |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Pravidlá De-Morganovej vety sú vytvorené z booleovských výrazov pre OR , AND a NOT pomocou dvoch vstupných premenných x a y. Prvá Demorganova veta hovorí, že ak vykonáme operáciu AND dvoch vstupných premenných a potom vykonáme operáciu NOT výsledku, výsledok bude rovnaký ako operácia OR doplnku tejto premennej. Druhá DeMorganova veta hovorí, že ak vykonáme operáciu OR dvoch vstupných premenných a potom vykonáme NIE operácia výsledku, výsledok bude rovnaký ako operácia AND doplnku tejto premennej.
De-Morganova prvá veta
Podľa prvej vety sa výsledok doplnku operácie AND rovná operácii ALEBO doplnku tejto premennej. Je teda ekvivalentná funkcii NAND a je to funkcia záporného ALEBO dokazujúca, že (A.B)' = A'+B' a môžeme to ukázať pomocou nasledujúcej tabuľky.
| Vstupy | Výstup pre každý termín | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)“ | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Druhá De-Morganova veta
Podľa druhej vety sa výsledok doplnku operácie OR rovná operácii AND doplnku tejto premennej. Je to teda ekvivalent funkcie NOR a je to funkcia záporného AND, čo dokazuje, že (A+B)' = A'.B' a môžeme to ukázať pomocou nasledujúcej pravdivostnej tabuľky.
| Vstupy | Výstup pre každý termín | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)“ | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Zoberme si niekoľko príkladov, v ktorých vezmeme niekoľko výrazov a aplikujeme DeMorganove vety.
Príklad 1: (A.B.C)“
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Príklad 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Príklad 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Aby sme mohli použiť DeMorganovu vetu na tento výraz, musíme sa riadiť nasledujúcimi výrazmi:
1) V úplnom vyjadrení najprv nájdeme tie výrazy, na ktoré môžeme aplikovať DeMorganovu vetu a s každým výrazom zaobchádzať ako s jednou premennou.
takže,
2) Ďalej aplikujeme prvú DeMorganovu vetu. takže,
3) Ďalej použijeme pravidlo číslo 9, t.j. (A=(A')') na zrušenie dvojitých taktov.
4) Ďalej aplikujeme druhú DeMorganovu vetu. takže,
5) Opäť použite pravidlo číslo 9 na zrušenie dvojitej takty
Tento výraz teda nemá výraz, v ktorom by sme mohli použiť nejaké pravidlo alebo vetu. Takže toto je konečný výraz.
Príklad 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
veľkosť latexového textu
