logo

De-Morganova veta

Slávny matematik DeMorgan vynašiel dve najdôležitejšie vety booleovej algebry. DeMorganove vety sa používajú na matematické overenie ekvivalencie brán NOR a záporného AND a záporného OR a NAND brán. Tieto vety hrajú dôležitú úlohu pri riešení rôznych výrazov booleovskej algebry. V nižšie uvedenej tabuľke je definovaná logická operácia pre každú kombináciu vstupnej premennej.

Vstupné premenné Výstupná podmienka
A B A NAND ALEBO NOR
0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0
1 1 1 0 1 0

Pravidlá De-Morganovej vety sú vytvorené z booleovských výrazov pre OR , AND a NOT pomocou dvoch vstupných premenných x a y. Prvá Demorganova veta hovorí, že ak vykonáme operáciu AND dvoch vstupných premenných a potom vykonáme operáciu NOT výsledku, výsledok bude rovnaký ako operácia OR doplnku tejto premennej. Druhá DeMorganova veta hovorí, že ak vykonáme operáciu OR dvoch vstupných premenných a potom vykonáme NIE operácia výsledku, výsledok bude rovnaký ako operácia AND doplnku tejto premennej.

De-Morganova prvá veta

Podľa prvej vety sa výsledok doplnku operácie AND rovná operácii ALEBO doplnku tejto premennej. Je teda ekvivalentná funkcii NAND a je to funkcia záporného ALEBO dokazujúca, že (A.B)' = A'+B' a môžeme to ukázať pomocou nasledujúcej tabuľky.

Vstupy Výstup pre každý termín
A B A.B (A.B)“ A' B' A'A+B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0

De-Morganova veta

Druhá De-Morganova veta

Podľa druhej vety sa výsledok doplnku operácie OR rovná operácii AND doplnku tejto premennej. Je to teda ekvivalent funkcie NOR a je to funkcia záporného AND, čo dokazuje, že (A+B)' = A'.B' a môžeme to ukázať pomocou nasledujúcej pravdivostnej tabuľky.

Vstupy Výstup pre každý termín
A B A+B (A+B)“ A' B' A'.B'
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0

De-Morganova veta

Zoberme si niekoľko príkladov, v ktorých vezmeme niekoľko výrazov a aplikujeme DeMorganove vety.

Príklad 1: (A.B.C)“

(A.B.C)'=A'+B'+C'

Príklad 2: (A+B+C)'

(A+B+C)'=A'.B'.C

Príklad 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'

Aby sme mohli použiť DeMorganovu vetu na tento výraz, musíme sa riadiť nasledujúcimi výrazmi:

1) V úplnom vyjadrení najprv nájdeme tie výrazy, na ktoré môžeme aplikovať DeMorganovu vetu a s každým výrazom zaobchádzať ako s jednou premennou.

De-Morganova veta
De-Morganova veta

takže,

De-Morganova veta

2) Ďalej aplikujeme prvú DeMorganovu vetu. takže,

De-Morganova veta

3) Ďalej použijeme pravidlo číslo 9, t.j. (A=(A')') na zrušenie dvojitých taktov.

De-Morganova veta

4) Ďalej aplikujeme druhú DeMorganovu vetu. takže,

De-Morganova veta

5) Opäť použite pravidlo číslo 9 na zrušenie dvojitej takty

De-Morganova veta

Tento výraz teda nemá výraz, v ktorom by sme mohli použiť nejaké pravidlo alebo vetu. Takže toto je konečný výraz.

Príklad 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'

veľkosť latexového textu
De-Morganova veta