Tetiva kruhu je čiara, ktorá spája ľubovoľné dva body na obvode kruhu. Kruh môže mať rôzne tetivy a najväčšia tetiva kruhu je priemer kruhu. Dĺžku akordu môžeme jednoducho vypočítať pomocou vzorca Chord Length. Ako už názov napovedá, ide o vzorec na výpočet dĺžky tetivy v kruhu v geometrii.

V tomto článku sa dozvieme o definícii akordu, vetách o akordoch a kruhu, vysvetlíme jeho vlastnosti a vzorce na výpočet dĺžky akordu pomocou rôznych metód. Článok obsahuje aj niektoré vyriešené vzorové problémy pre lepšie pochopenie.

Obsah

• Definícia kruhu
• Definícia akordu kruhu
• Čo je vzorec dĺžky akordu?
• Akord kružnicových teorémov
• Vlastnosti akordov kruhu
• Vyriešené problémy
• často kladené otázky

Definícia kruhu

Kruh je dokonalý okrúhly tvar pozostávajúci zo všetkých bodov v rovine, ktoré sú umiestnené v danej vzdialenosti od daného bodu. Pozostávajú z uzavretej zakrivenej čiary okolo centrálneho bodu. Body prítomné na čiare sú v rovnakej vzdialenosti od centrálneho bodu. Vzdialenosť od stredu kruhu sa nazýva polomer.

Definícia akordu kruhu

Úsečka, ktorá spája akékoľvek dva body na obvode kruhu, sa nazýva tetiva kruhu. Keďže priemer tiež spája dva body na obvode kruhu, je to tiež tetiva ku kruhu. V skutočnosti je priemer najdlhšou tetivou kruhu. Inými slovami, tetiva je úsečka, ktorej oba konce ležia na obvode kruhu. Nasledujúca ilustrácia nám môže pomôcť pochopiť viac.

Čo je vzorec dĺžky akordu?

Na výpočet dĺžky tetivy existujú dve základné metódy alebo vzorce. dĺžku tetivy možno určiť pomocou kolmej vzdialenosti od stredu kruhu, ako aj trigonometrickou metódou. Takto možno zistiť dĺžku akordu

• Použitie Pytagorovej vety
• Použitie zákona kosínov

Pochopme tieto metódy podrobne takto:

Metóda 1: Použitie Pytagorovej vety

V nasledujúcom diagrame pre tetivu, ako ju poznáme, kolmica nakreslená zo stredu kruhu na tetivu ho pretína na dve polovice.

V trojuholníkoch OAM, pomocou Pythagorova veta ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Keďže x je polovica dĺžky tetivy,

Dĺžka tetivy pre akýkoľvek kruh s jeho kolmou vzdialenosťou od stredu je teda daná ako

má ďalšiu javu

Dĺžka akordu kruhu = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Kde,

• r je polomer kruhu a
• d je kolmá vzdialenosť medzi stredom kruhu a tetivou.

Metóda 2: Použitie zákona kosínov

Ako vieme pre trojuholník ABC so stranami a, b a c Zákon kosínusu štáty,

c ² = a ² + b ² – 2ab čos C

Pomocou tohto zákona v nasledujúcom diagrame tetivy zvierajúceho uhol θ v strede kruhu môžeme nájsť dĺžku tetivy.

V trojuholníku OAB pomocou kosínusového zákona

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Dĺžka akordu je teda daná:

Dĺžka akordu = 2r × sin [θ/2]

Kde,

• i je uhol zvieraný tetivou v strede a
• r je polomer kruhu.

Iný súvisiaci vzorec pre dĺžku akordu

Keď dva kruhy zdieľajú spoločnú tetivu, dĺžku tejto spoločnej tetivy možno vypočítať pomocou vzorca

Dĺžka spoločnej akordy dvoch kruhov = 2R ₁ × R ₂ / D

Kde,

• R ₁ a R ₂ označuje polomer kružníc
• D je vzdialenosť medzi dvoma stredmi kruhu

Akord kružnicových teorémov

Tetiva kruhu zviera uhol v strede kruhu, čo nám pomáha dokázať rôzne pojmy v kruhu. Existujú rôzne vety založené na tetive kruhu,

• Veta 1: Rovné akordy Veta o rovnakých uhloch
• Veta 2: Rovné uhly Veta o rovnakých akordoch (Obrátená veta 1)
• Veta 3: Rovné akordy v rovnakej vzdialenosti od stredovej vety

Teraz poďme diskutovať o tom istom v článku nižšie.

Veta 1: Rovné akordy Veta o rovnakých uhloch

Vyhlásenia: Rovnaké tetivy zvierajú rovnaké uhly v strede kruhu, t. j. uhol zovretý tetivou je rovnaký, ak je tetiva rovnaká.

dôkaz:

Z obrázku,

V ∆AOB a ∆DOC

• AB = CD …eq(i) (dané)
• OA = OD …eq(ii) (polomer kruhu)
• OB = OC …eq(iii) (polomer kruhu)

Teda pri podmienkach zhody SSS sú trojuholníky ∆AOB a ∆COD zhodné.

teda

∠AOB = ∠DOC (podľa CPCT)

Tým je teorém overený.

Veta 2: Veta o rovnakých uhloch Veta o rovnakých akordoch (Obrátená veta 1)

vyhlásenie: Tetivy zvierajúce rovnaké uhly v strede kruhu majú rovnakú dĺžku. Toto je opak prvej vety.

Z obrázku,

V ∆AOB a ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (dané)
• OA = OD …eq(ii) (polomer kruhu)
• OB = OC …eq(iii) (polomer kruhu)

Podľa podmienok kongruencie SAS sú teda trojuholník ∆AOB a ∆COD zhodné.

teda

AB = CD (podľa CPCT)

Tým je teorém overený.

Veta 3: Rovné akordy rovnako vzdialené od stredu vety

vyhlásenie: Rovnocenné tetivy sú rovnako vzdialené od stredu, t.j. vzdialenosť medzi stredom kruhu a rovnakou tetivou je vždy rovnaká.

Z obrázku,

porovnať reťazec java

V ∆AOL a ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 stupňov)
• OA = OC …eq(ii) (polomer kruhu)
• OL = OM …eq(iii) (dané)

Teda pri podmienkach zhody RHS sú trojuholníky ∆AOB a ∆COD zhodné.

teda

AL = CM (Podľa CPCT)… (iv)

Teraz vieme, že kolmica vytiahnutá zo stredu pretína akordy.

Z rovnice (iv)

2AL = 2 cm

AB = CD

Tým je teorém overený.

Vlastnosti akordov kruhu

Existujú rôzne vlastnosti akordov v kruhu, niektoré z týchto vlastností sú nasledovné:

• Tetiva, ktorá prechádza stredom kruhu, sa nazýva priemer a je to najdlhšia tetiva v kruhu.
• Kolmica na tetivu, ktorá je vedená zo stredu kružnice, pretína tetivu.
• Akordy, ktoré sú rovnako vzdialené od stredu kruhu, majú rovnakú dĺžku.
• Existuje iba jeden kruh, ktorý prechádza tromi kolineárnymi bodmi.
• Tetivy, ktoré majú rovnakú dĺžku, zvierajú rovnaké uhly v strede kruhu.
• Stredom kružnice prechádza kolmica akordu.
• Ak je polomer kolmý na tetivu, potom rozpolí tetivu a oblúk, ktorý pretína. Toto je známe ako veta o kolmici.
• Keď sú uhly zovreté tetivou rovnaké, potom je rovnaká aj dĺžka tetiv.
• Ak sa dva akordy v kruhu pretínajú, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu. Toto je známe ako teorém pretínajúcich sa akordov.
• Uhol zvieraný tetivou v strede je dvojnásobkom uhla, ktorý zviera tetiva na obvode.

Čítaj viac,

• Rovnica kruhu
• Oblasť kruhu
• Obvod kruhu

Vyriešené úlohy na akorde kruhu

Úloha 1: Kruh je uhol 70 stupňov, ktorého polomer je 5 cm. Vypočítajte dĺžku tetivy kruhu.

Riešenie:

Dané

• Polomer = 5 cm
• Uhol = 70°

teraz

dĺžka tetivy = 2R × Sin [uhol/2]

= 2 × 5 × hriech [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 x 0,5736

= 5,73 cm

Problém 2: V kruhu , polomer je 7 cm a kolmá vzdialenosť od stredu kruhu k jeho tetivám je 6 cm. Vypočítajte dĺžku tetivy.

Riešenie:

Dané

• Polomer = 7 cm
• Vzdialenosť = 6 cm

teraz

Dĺžka tetivy = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2 √13 cm

Úloha 3: Kruh je uhol 60 stupňov, ktorého polomer je 12 cm. Vypočítajte dĺžku tetivy kruhu.

Riešenie:

Dané

• Polomer = 12 cm
• Uhol = 60°

teraz

dĺžka tetivy = 2R × Sin [uhol/2]

⇒ 2 × 12 × hriech [60/2]

⇒ 24 × sin30°

java hashmap

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Úloha 4: V kruhu je polomer 16 cm a kolmá vzdialenosť od stredu kruhu k jeho tetivám je 5 cm. Vypočítajte dĺžku tetivy.

Riešenie:

Dané

• Polomer = 16 cm
• Vzdialenosť = 5 cm

teraz

Dĺžka akordu = 2 √r²– d²

⇒ 2 √ (16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Úloha 6: Vypočítajte dĺžku spoločnej tetivy medzi kružnicami s polomerom 6 cm a 5 cm. A vzdialenosť medzi týmito dvoma stredmi bola nameraná na 8 cm.

Riešenie:

Dané

Vzdialenosť medzi stredmi = 8 cm

Polomer dvoch kruhov je R₁a R₂s dĺžkou 6 cm a 5 cm

teraz

Dĺžka spoločnej tetivy dvoch kruhov = (2R₁× R₂) / Vzdialenosť medzi dvoma stredmi kružníc

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Časté otázky o Chord of a Circle

Definujte akord.

Úsečka spájajúca dva body na obvode kruhu je známa ako tetiva.

Čo je vzorec dĺžky akordu?

Vzorec dĺžky akordu vypočíta dĺžku akordu v kruhu.

Môže byť dĺžka akordu väčšia ako priemer kruhu?

Nie, dĺžka tetivy nemôže byť väčšia ako priemer, pretože priemer je najdlhšia tetiva kruhu.

Ako je ovplyvnená dĺžka akordu, ak je bližšie k stredu kruhu?

Keď sa tetiva blíži k stredu kruhu, jej dĺžka sa blíži k maximálnej dĺžke, t. j. k priemeru.

Ako je ovplyvnená dĺžka akordu, ak je bližšie k okraju kruhu?

Keď sa tetiva približuje k okraju kružnice, jej dĺžka sa blíži k 0. Dĺžka tetivy a jej vzdialenosť od okraja teda majú inverzný vzťah.

Aký je vzťah medzi dĺžkou akordu a stredovým uhlom kruhu?

Vzťah medzi dĺžkou e tetivy a stredovým uhlom kruhu je nasledujúci:

Dĺžka akordu = 2r × sin [θ/2]

Kde,

• i je uhol zvieraný tetivou v strede a
• r je polomer kruhu.

Môže byť vzorec dĺžky akordu použitý pre akýkoľvek kruh?

Áno, vzorec dĺžky akordu možno použiť pre akýkoľvek kruh, pokiaľ je známy polomer a stredový uhol.

Je priemer akord kruhu?

Áno, priemer je tetiva kruhu. Je to najdlhšia tetiva kruhu. Rovná sa dvojnásobku polomeru kruhu.

D = 2r

vlc na sťahovanie videí z youtube

Kde,

• D je Priemer kruhu
• r je polomer kruhu