Booleovská algebra je typ algebry, ktorá vzniká prevádzkou binárneho systému. V roku 1854 George Boole, anglický matematik, navrhol túto algebru. Toto je variant Aristotelovej výrokovej logiky, ktorý používa symboly 0 a 1 alebo pravda a nepravda. Booleovská algebra sa zaoberá binárnymi premennými a logickými operáciami.

Booleovská algebra je základom vo vývoji digitálnych elektronických systémov, pretože všetky používajú koncept Booleovská algebra vykonávať príkazy. Okrem digitálnej elektroniky nachádza táto algebra uplatnenie aj v teórii množín, štatistike a iných odvetviach matematiky.

V tomto článku sa podrobne dozvieme o základných boolovských operáciách, boolovských výrazoch, pravdivostných tabuľkách, boolovských zákonoch a ďalších.

Obsah

• Operácie booleovskej algebry
• Tabuľka booleovskej algbery
• Booleovský výraz a premenné
• Booleovské algebrické terminológie
• Pravdivé tabuľky v Booleovej algebre
• Pravidlá booleovskej algebry
• Zákony pre booleovskú algebru
• Booleovské algebrické vety
• Vyriešené príklady Booleovej algebry

Operácie booleovskej algebry

Existujú rôzne operácie, ktoré sa používajú v Booleovej algebre, ale základné operácie, ktoré tvoria základ Booleovej algebry, sú.

• Negácia alebo NOT Operation
• Konjunkcia alebo operácia AND
• Disjunkcia alebo Operácia ALEBO

Booleovský výraz algebry

Skontrolujte: Základy Booleovej algebry v digitálnej elektronike

Tieto operácie majú svoje vlastné symboly a prioritu a tabuľka pridaná nižšie zobrazuje symbol a prioritu týchto operátorov.

Tieto operácie môžeme jednoducho definovať pomocou dvoch booleovských premenných.

Zoberme si dve boolovské premenné A a B, ktoré môžu mať ktorúkoľvek z dvoch hodnôt 0 alebo 1, t. j. môžu byť buď VYPNUTÉ alebo ZAPNUTÉ. Potom sú tieto operácie vysvetlené ako,

Operácia negácia alebo NIE

Pomocou NIE operácia obrátiť hodnotu booleovskej premennej z 0 na 1 alebo naopak. Dá sa to chápať takto:

• Ak A = 1, potom pomocou operácie NOT máme (A)‘ = 0

• Ak A = 0, potom pomocou operácie NOT máme (A)‘ = 1
• Operáciu negácie tiež reprezentujeme ako ~A, t.j. ak A = 1, ~A = 0

Skontrolujte: Vlastnosti Booleovej algebry

Konjunkcia alebo operácia AND

Pomocou A operácia spĺňa podmienku, ak obe hodnoty jednotlivých premenných sú pravdivé a ak je niektorá z hodnôt nepravda, potom táto operácia dáva negatívny výsledok. Dá sa to chápať tak,

• Ak A = pravda, B = pravda, potom A . B = pravda

• Ak A = pravda, B = nepravda, alebo A = nepravda, B = pravda, potom A . B = nepravda

• Ak A = nepravda, B = nepravda, potom A . B = nepravda

Skontrolujte: Booleovské algebraické vety

Operácia disjunkcie (OR).

Pomocou ALEBO operácia spĺňa podmienku, ak je ľubovoľná hodnota jednotlivých premenných pravdivá, záporný výsledok dáva iba vtedy, ak sú obe hodnoty nepravdivé. Dá sa to chápať tak,

• Ak A = pravda, B = pravda, potom A + B = pravda

• Ak A = pravda, B = nepravda, alebo A = nepravda, B = pravda, potom A + B = pravda

• Ak A = nepravda, B = nepravda, potom A + B = nepravda

Tabuľka Booleovej algebry

Nižšie je uvedený výraz pre boolovskú algebru

Booleovský výraz a premenné

Booleovský výraz je výraz, ktorý pri vyhodnotení vytvára boolovskú hodnotu, t. j. vytvára buď pravdivú alebo nepravdivú hodnotu. Zatiaľ čo boolovské premenné sú premenné, ktoré ukladajú boolovské čísla.

P + Q = R je boolovská fráza, v ktorej P, Q a R sú boolovské premenné, ktoré môžu uložiť iba dve hodnoty: 0 a 1. 0 a 1 sú synonymá pre nepravdu a pravdu a používajú sa v boolovskej algebre, niekedy používame tiež Áno namiesto True a Nie namiesto False.

Môžeme teda povedať, že príkazy používajúce boolovské premenné a fungujúce na boolovských operáciách sú boolovské výrazy. Niektoré príklady booleovských výrazov sú,

• A + B = pravda
• A.B = pravda
• (A)' = nepravda

Skontrolujte: Axiómy Booleovej algebry

Booleovské algebrické terminológie

Existujú rôzne terminológie súvisiace s booleovskou algebrou, ktoré sa používajú na vysvetlenie rôznych parametrov Booleovská algebra . To zahŕňa,

• Booleovská algebra
• Booleovské premenné
• Booleovská funkcia
• Doslovný
• Doplniť
• Tabuľka pravdy

Teraz budeme diskutovať o dôležitých terminológiách Booleovej algebry v článku nižšie,

Booleovská algebra

Odvetvie algebry, ktoré sa zaoberá binárnymi operáciami alebo logickými operáciami, sa nazýva booleovská algebra. Zaviedol ho George Boole v polovici 19. storočia. Používa sa na analýzu a manipuláciu s logickými funkciami v binárnych premenných. Je široko používaný v rôznych oblastiach, ako je digitálny logický dizajn, informatika a telekomunikácie.

Booleovské premenné

Premenné používané v booleovskej algebre, ktoré uchovávajú logickú hodnotu 0 a 1, sa nazývajú boolovské premenné. Používajú sa na ukladanie pravdivých alebo nepravdivých hodnôt. Booleovské premenné sú zásadné pri reprezentácii logických stavov alebo výrokov v boolovských výrazoch a funkciách.

Booleovská funkcia

Funkcia booleovskej algebry, ktorá je tvorená použitím booleovských premenných a booleovských operátorov, sa nazýva boolovská funkcia. Tvorí sa kombináciou boolovských premenných a logických výrazov ako AND, OR a NOT. Používa sa na modelovanie logických vzťahov, podmienok alebo operácií.

Doslovný

Premenná alebo doplnok premennej v Booleovej algebre sa nazýva literál. Literály sú základnými stavebnými kameňmi booleovských výrazov a funkcií. Predstavujú operandy v logických operáciách.

Doplniť

Inverzná hodnota booleovskej premennej sa nazýva doplnok premennej. Doplnok 0 je 1 a doplnok 1 je 0. Je reprezentovaný znakom ‘ alebo (¬) nad premennou. Doplnky sa používajú na reprezentáciu logických negácií v boolovských výrazoch a funkciách.

Tabuľka pravdy

Tabuľka obsahujúca všetky možné hodnoty logických premenných a kombinácia premennej spolu s danou operáciou sa nazýva pravdivostná tabuľka. Počet riadkov v pravdivostnej tabuľke závisí od celkového počtu booleovských premenných použitých v danej funkcii. Udáva sa pomocou vzorca,

Počet riadkov v tabuľke pravdy = 2 ⁿ

kde n je počet použitých booleovských premenných.

Skontrolujte:

• Teória množín
• Štatistiky

Pravdivé tabuľky v Booleovej algebre

Pravdivostná tabuľka predstavuje všetky kombinácie vstupných hodnôt a výstupov tabuľkovým spôsobom. Sú v nej zobrazené všetky možnosti vstupu a výstupu a odtiaľ názov pravdivostná tabuľka. V logických problémoch sa pravdivostné tabuľky bežne používajú na znázornenie rôznych prípadov. T alebo 1 znamená „True“ a F alebo 0 znamená „False“ v tabuľke pravdy.

Príklad: Nakreslite pravdivostnú tabuľku podmienok A + B a A.B, kde A a b sú booleovské premenné.

Riešenie:

Požadovaná tabuľka pravdy je,

Pravidlá booleovskej algebry

V Booleovej algebre existujú rôzne základné pravidlá pre logické vyjadrenie.

• Binárne zobrazenie: V Booleovej algebre môžu mať premenné iba dve hodnoty buď 0 alebo 1, kde 0 predstavuje nízku a 1 predstavuje vysokú. Tieto premenné predstavujú logické stavy systému.
• Doplnkové zastúpenie: Doplnok premenných je reprezentovaný (¬) alebo (‘) nad premennou. To naznačuje logickú negáciu alebo inverziu hodnoty premennej. Takže doplnok premennej A môže byť reprezentovanýoverline{A},ak je hodnota A=0, tak jej doplnok je 1.
• ALEBO Prevádzka: Operáciu ALEBO predstavuje (+) medzi premennými. Operácia OR vráti hodnotu true, ak je aspoň jeden z operandov pravdivý. Pre príklady si vezmime tri premenné A,B,C, operáciu OR možno znázorniť ako A+B+C.
• A operácia: Operácia AND je označená (.) medzi premennými. Operácia AND vráti hodnotu true iba vtedy, ak sú všetky operandy pravdivé. Pre príklady si vezmime tri premenné A, B, C, operácia AND môže byť reprezentovaná A.B.C alebo ABC.

Zákony pre booleovskú algebru

Základné zákony Booleovej algebry sú pridané v tabuľke pridanej nižšie,

Zoznámte sa s týmito zákonmi podrobne.

Zákon o identite

V Booleovej algebre máme prvky identity pre operácie AND(.) aj OR(+). Zákon identity hovorí, že v booleovej algebre máme také premenné, že pri operáciách AND a OR dostaneme rovnaký výsledok, t.j.

• A + 0 = A
• A.1 = A

Komutatívny zákon

Binárne premenné v Booleovej algebre sa riadia komutatívnym zákonom. Tento zákon hovorí, že prevádzkové boolovské premenné A a B sú podobné prevádzkovým boolovským premenným B a A. To znamená,

• A. B = B. A
• A + B = B + A

Asociačné právo

Asociačný zákon uvádza, že poradie vykonávania booleovských operátorov je nelogické, pretože ich výsledok je vždy rovnaký. Dá sa to chápať tak,

• (A.B). C = A. (B.C)
• ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Distribučné právo

Booleovské premenné sa tiež riadia distributívnym zákonom a výraz pre distributívny zákon je uvedený ako:

• A ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Inverzný zákon

Inverzný zákon je jedinečný zákon Booleovej algebry, tento zákon hovorí, že doplnkom doplnku akéhokoľvek čísla je samotné číslo.

• (A’)’ = A

Okrem týchto ďalších zákonov sú uvedené nižšie:

A Zákon

Zákon AND Booleovej algebry používa operátor AND a zákon AND je,

• A 0 = 0
• A 1 = A
• A A = A

ALEBO Zákon

Zákon OR Booleovej algebry používa operátor OR a zákon OR je,

generátor náhodných hodnôt v jave

• A + 0 = A
• A + 1 = 1
• A + A = A

Nazývajú sa aj De Morganove zákony Z Morganovej vety . Sú to najdôležitejšie zákony Booleovská algebra a tie sú pridané nižšie pod hlavičkou Boolean Algebra Theorem

Booleovské algebrické vety

V Booleovej algebre sú veľmi dôležité dve základné vety, ktorými sú De Morganove prvé zákony a De Morganove druhé zákony. Nazývajú sa aj De Morganove vety. Poďme sa teraz dozvedieť o oboch podrobne.

De Morganove prvé zákony

(P.Q)’ = (P)’ + (Q)’

• Vlastnosti Booleovej algebry
• Princíp matematickej indukcie
• Logické brány

Vyriešené príklady Booleovej algebry

Nakreslite tabuľku pravdy pre P + P.Q = P

Riešenie:

Pravdivostná tabuľka pre P + P.Q = P

P	Q	P.Q	P + P.Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	F
F	F	F	F

V pravdivostnej tabuľke môžeme vidieť, že pravdivostné hodnoty pre P + P.Q sú úplne rovnaké ako pre P.

Nakreslite tabuľku pravdy pre P.Q + P + Q

Riešenie:

Pravdivostná tabuľka pre P.Q + P + Q

P	Q	P.Q	P.Q + P + Q
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	F

Riešiť extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Riešenie:

Použitie De Morganovho zákona

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Použitie distribučného práva

abstraktná trieda java

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Takže zjednodušený výraz pre danú rovnicuoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Záver

Booleovská algebra slúži ako základný rámec pre reprezentáciu a manipuláciu s logickými výrazmi pomocou binárnych premenných a logických operátorov. Hrá kľúčovú úlohu v rôznych oblastiach, ako je návrh digitálnej logiky, počítačové programovanie a analýza obvodov. Poskytnutím systematického spôsobu opisu a analýzy logických vzťahov umožňuje booleovská algebra vývoj zložitých systémov a algoritmov. Jeho princípy a operácie, vrátane AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR a XNOR, tvoria stavebné kamene pre navrhovanie logických obvodov, písanie efektívneho kódu a riešenie logických problémov.

Booleovská algebra – často kladené otázky

Čo je Booleovská algebra?

Booleovská algebra tiež tzv Logická algebra je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá booleovskými premennými, ako sú 0 a 1.

Čo sú hlavné booleovské operátory?

Existujú tri hlavné booleovské operátory,

• AND (spojka)
• ALEBO (Disjunkcia)
• NIE (Negácia)

Ako minimalizovať booleovskú funkciu?

Existuje niekoľko metód na minimalizáciu boolovských funkcií, vrátane:

• Algebraické zjednodušenie:
• Karnaughove mapy (K-mapy):
• Quine-McCluskeyho algoritmus:
• Metóda tabuľky:
• Podmienky starostlivosti:

Aké sú aplikácie booleovskej algebry?

Booleovská algebra má rôzne aplikácie. Používa sa na zjednodušenie logických obvodov, ktoré sú chrbtovou kosťou moderných technológií.

Čo predstavuje 0 v booleovskej algebre?

0 palcov Booleovská algebra predstavuje nepravdivý stav alebo predstavuje stav vypnutia.

Čo znamená 1 v Booleovej algebre?

1 palec Booleovská algebra predstavujú podmienku True alebo predstavujú podmienku zapnutia.

Čo sú zákony Booleovej algebry?

Booleovské zákony algebry sú pravidlá na manipuláciu logických výrazov s binárnymi premennými, zabezpečenie konzistentnosti a zjednodušenia operácií, ako je sčítanie, násobenie a dopĺňanie, ktoré sú kľúčové v oblastiach ako digitálna elektronika a informatika.

Akých je 5 zákonov Booleovej algebry?

Booleovská algebra sa riadi piatimi primárnymi zákonmi, ktoré slúžia ako základ pre manipuláciu s logickými výrazmi:

1. Zákon o identite pre AND

2. Zákon o identite pre OR

3. Doplnkový zákon pre AND

4. Doplnok zákona pre OR

5. Idempotentný zákon

Aké sú 3 zákony v booleovskej logike?

Tri základné zákony v booleovskej logike sú

• Zákon o identite (pridaním nuly alebo vynásobením jednou zostane premenná nezmenená)
• Zákon o nadvláde (pridaním premennej k jej doplnku dostaneme 1 a jej vynásobením jej doplnkom dostaneme 0)
• Komutatívny zákon (poradie premenných je možné prepínať sčítaním alebo násobením bez zmeny výsledku).

Čo je De Morganova veta?

De Morganova veta tvrdí, že t doplnok logickej operácie AND je ekvivalentom operácie OR doplnkov jednotlivých členov, a naopak. Je to základný princíp v Booleovej algebre, ktorý sa používa na zjednodušenie logických výrazov a optimalizáciu logických obvodov.