Vzorec stredného bodu je ((X 1 + x 2 )/2 a 1 + a 2 )/2). Súradnice dvoch bodov sú (x1, a1) a (x2, a2) a stred je bod, ktorý leží v polovici medzi týmito dvoma bodmi.
Stredný bod je základný koncept v geometrii súradníc. Hrá kľúčovú úlohu pri hľadaní stredu úsečky. V geometrii súradníc existujú prípady, keď potrebujeme poznať stred dvoch daných bodov alebo stred úsečky. V tomto prípade používame vzorec pre stredný bod, pretože je to jednoduchý a efektívny spôsob výpočtu stredu ľubovoľného segmentu čiary bez ohľadu na jeho dĺžku alebo polohu v rovine súradníc.
Podrobne sme sa venovali vzorcu stredného bodu s jeho odvodením pomocou podobnosti trojuholníkov. Spolu s tým sme spravili vyriešené príklady na Formule stredného bodu.
Definícia stredného bodu
Bod, ktorý delí priamku presne na dve rovnaké polovice, je stredom priamky. Inými slovami, pomer oboch polovíc čiary, v ktorej ju stred delí, je 1:1.
Stredný bod čiary
Vzorec stredného bodu čiary
Pre úsečku AB v karteziánskej súradnici, kde súradnica bodu A na osi x je x1a súradnica bodu A na osi y je y1a podobne súradnica bodu B na osi x je x2a súradnica bodu B na osi y je y2,stredný bod čiary bude daný ako (xm, am).
Vzorec pre stredný bod (xm, am) je:
Vzorec stredného bodu
Odvodenie vzorca stredného bodu
Nech P(x1a1) a Q(x2a2) sú dva konce danej priamky v súradnicovej rovine a R(x,y) je bod na tej priamke, ktorá delí PQ v pomere m1:m2také že
PR/RQ = m1/m2. . .(1)
Odvodenie vzorca stredného bodu
Nakreslite čiary PM, QN a RL kolmé na os x a cez R nakreslite priamku rovnobežnú s osou x, aby sa stretli s MP v S a NQ v T.
Z obrázku teda môžeme povedať:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
css tučný textRT = LN = ON – Ol = x2- X . . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2- a . . . (5)
Teraz trojuholník ∆ SPR je podobný trojuholníku ∆TQR .
preto
SR/RT = PR/RQ
Použitím rovníc 2, 3 a 1 vieme:
x – x1/ X2– x = m1/ m2
⇒ m2x – m2X1= m1X2– m1X
⇒ m1x + m2x = m1X2+ m2X1
⇒ (m1+ m2)x = m1X2+ m2X1
⇒ x = (m1X2+ m2X1) / (m1+ m2)
Teraz trojuholník ∆ SPR je podobný trojuholníku ∆ TQR,
preto
PS/TQ = PR/RQ
Použitím rovníc 4, 5 a 1 vieme:
a – a1/ a2– y = m1/ m2
⇒ m2r – m2a1= m1a2– m1a
⇒ m1y + m2y = m1a2+ m2a1
prevod reťazca na int⇒ (m1+ m2)y = m1a2+ m2a1
⇒ y = (m1a2+ m2a1) / (m1+ m2)
Súradnice R(x,y) sú teda:
R(x, y) = (m 1 X 2 + m 2 X 1 ) / (m 1 + m 2 ), (m 1 a 2 + m 2 a 1 ) / (m 1 + m 2 )
Keďže sme museli vypočítať stred, ponechávame obe hodnoty m1a m2rovnako t.j.
Pre stredný bod poznáme podľa definície stredu, m1= m2= 1.
(x, y) = ((1.x2+ 1.x1) / (1 + 1), (1.r2+ 1.r1) / (1 + 1))
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2 a 2 + a 1 ) / 2
Ako nájsť stredný bod?
Na nájdenie súradníc stredu ľubovoľného segmentu čiary môžeme použiť vzorec pre stred, ak sú zadané koncové body segmentu čiary. Zvážte nasledujúci príklad pre to isté.
Príklad: Nájdite súradnice stredu úsečky, ktorej koncové body sú (5, 6) a (-3, 4).
Riešenie:
Ako vieme, stred úsečky je daný vzorcom:
Stred = ((x1+x2)/2 a1+y2)/2)
kde (x1, a1) a (x2, a2) sú súradnice koncových bodov úsečky.
Stred = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Stred = (2/2, 10/2)
⇒ Stred = (1, 5)
Preto súradnice stredu úsečky sú (1, 5).
Súvisiaci vzorec
Existujú podobné vzorce ako vzorec pre stred, ktoré sú nasledovné:
- Vzorec oddielu
- Vzorec centroidu
Vzorec oddielu
Vzorec oddielu sa používa na nájdenie súradnice bodu, ktorý delí daný úsečku v požadovanom pomere. Predpokladajme, že koncové body úsečky sú A a B so súradnicami (X 1 , a 1 ) a (X 2 , a 2 ) , a P je bod, ktorý rozdeľuje úsečku spájajúcu úsečku AB v m:n. Potom súradnica P je daná vzťahom:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n) , (môj 2 + 1 )/(m+n)]
Vzorec centroidu
Vzorec Centroid sa používa na nájdenie stredového bodu mnohouholníkov a matematicky pre trojuholníky a štvoruholníky je daný takto:
Ťažisko trojuholníkového vzorca
Súradnice ťažiska trojuholníka s vrcholmi (x1, a1), (X2, a2) a (x3, a3) sú:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (a 1 + a 2 + a 3 )/3)
Stred trojuholníka
Ťažisko štvoruholníkového vzorca
Súradnice ťažiska štvoruholníka s vrcholmi (x1, a1), (X2, a2), (X3, a3) a (x4, a4) sú:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4, (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 )/4)
Ťažisko štvoruholníka
Vyriešené otázky týkajúce sa vzorca pre stredný bod
Otázka 1: Aký je stred úsečky AB, kde bod A je v bode (6,8) a bod B je v bode (3,1)?
Riešenie:
Nech stred je M(xm, am),
Xm= (x1+ x2) / 2
X1= 6, x2= 3
ako funguje počítačTeda xm= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
am= (a1+ a2) / 2
a1= 8 a2= 1
Teda ym= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Stred priamky AB je teda (4.5, 4.5).
Otázka 2: Aký je stred úsečky AB, kde bod A je v bode (-6,4) a bod B je v bode (4,2)?
Riešenie:
Nech stred je M(xm, am),
X1= -6, x2= 4 a1= 4 a2= 2
(Xm, am) = ((x1+ x2) / 2 a1+ a2) / 2)
(Xm, am) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
výnimka hodí java(Xm, am) = ((-2)/2, (6)/2)
(Xm, am) = (-1, 3)
Stred priamky AB je teda (-1, 3).
Otázka 3: Nájdite hodnotu p tak, aby (–2, 2,5) bol stred medzi (p, 2) a (–1, 3).
Riešenie:
Nech stred je M(xm, am) = (-2, 2,5), kde,
X1= -1, xm= -2
y-ová súradnica koncového bodu je už známa ako 2, preto musíme nájsť iba x-ovú súradnicu
Xm= (x1+ x2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
p = -3
Ďalší koncový bod čiary je teda (-3, 2).
Otázka 4: Ak sú súradnice koncových bodov úsečky (3, 4) a (7, 8), nájdite vzdialenosť medzi stredom úsečky a bodom (3, 4).
Riešenie:
Nech A(3, 4) a B(7, 8) sú koncové body danej úsečky a C je stred úsečky AB.
Potom pomocou vzorca stredu,
Súradnica C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Použitie vzorca vzdialenosti
získať spojenieVzdialenosť = √{(x2- X1)2+ (a2- a1)2}
⇒ Vzdialenosť = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Vzdialenosť =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Vzdialenosť =√8 = 2√2
Preto je vzdialenosť medzi stredom úsečky a bodom (3, 4) 2√2.
| Musíte prečítať | |
|---|---|
| Vzorec vzdialenosti | Geometria súradníc |
| Pythagorova veta | Kartézska rovina |
Vzorec stredného bodu – často kladené otázky
Čo je vzorec stredného bodu?
Matematicky vzorec stredu je daný takto:
Stred = ((x 1 + x 2 )/2 a 1 + a 2 )/2)
Aký význam má vzorec stredného bodu?
Vzorec pre stredný bod je dôležitý, pretože nám umožňuje nájsť stred ľubovoľného segmentu čiary v karteziánskom súradnicovom systéme.
Aké sú aplikácie stredného vzorca?
Existuje veľa prípadov použitia vzorca stredného bodu, pretože v geometrii ho môžeme použiť na riešenia a vlastnosti trojuholníkov, mnohouholníkov a iných útvarov, vo fyzike má uplatnenie aj pri hľadaní ťažiska.
Je možné použiť vzorec pre stredný bod pre tri alebo viac bodov?
Nie, vzorec pre stredný bod nemožno použiť pre tri body, pretože stredný bod je definovaný iba pre dva body. Pre tri body môžeme použiť vzorec ťažiska, ak chceme nájsť súradnicu ťažiska pre trojuholník tvorený danými tromi bodmi.
Koľko stredov má segment?
Segment má iba jeden stred.