logo

TechCodeview

15 najťažších SAT matematických otázok vôbec

feature_climb

Chcete sa otestovať proti najťažším matematickým otázkam SAT? Chcete vedieť, prečo sú tieto otázky také ťažké a ako ich najlepšie vyriešiť? Ak ste pripravení skutočne sa ponoriť do matematickej sekcie SAT a zamerať sa na dokonalé skóre, toto je sprievodca pre vás.

Dali sme dokopy to, o čom veríme, že je 15 najťažších otázok pre aktuálny SAT so stratégiami a vysvetleniami odpovedí pre každú z nich. Toto všetko sú ťažké matematické otázky SAT z praktických testov SAT College Board, čo znamená, že ich pochopenie je jedným z najlepších spôsobov štúdia pre tých z vás, ktorí sa snažia o dokonalosť.

Obrázok: Sonia Sevilla /Wikimedia

Stručný prehľad SAT Math

Tretia a štvrtá sekcia SAT budú vždy matematické sekcie . Prvý matematický pododdiel (označený '3') robí nie vám umožní používať kalkulačku, zatiaľ čo druhá matematická podsekcia (označená ako „4“) robí umožňujú používanie kalkulačky. Nerobte si však veľké starosti so sekciou bez kalkulačky: ak na otázku nemôžete použiť kalkulačku, znamená to, že na jej zodpovedanie nepotrebujete kalkulačku.

Každá podsekcia matematiky je usporiadaná v poradí vzostupnej náročnosti (kde čím dlhšie trvá vyriešenie problému a čím menej ľudí naň odpovie správne, tým je to náročnejšie). V každej podsekcii bude otázka 1 „ľahká“ a otázka 15 sa bude považovať za „ťažkú“. Stúpajúca obtiažnosť sa však na grid-inoch resetuje z ľahkej na ťažkú.

Preto sú otázky s výberom z viacerých odpovedí usporiadané so zvyšujúcou sa obtiažnosťou (otázky 1 a 2 budú najjednoduchšie, otázky 14 a 15 najťažšie), ale úroveň obtiažnosti sa pre sekciu mriežky resetuje (to znamená, že otázky 16 a 17 budú opäť „ľahké“ a otázky 19 a 20 budú veľmi ťažké).

Až na pár výnimiek teda najťažšie matematické problémy SAT budú zoskupené na konci segmentov s výberom z viacerých možností alebo v druhej polovici mriežkových otázok. Okrem ich umiestnenia v teste však tieto otázky zdieľajú aj niekoľko ďalších spoločných čŕt. O chvíľu sa pozrieme na príklady otázok a na ich riešenie, potom ich analyzujeme, aby sme zistili, čo majú tieto typy otázok spoločné.

Ale najprv: Mali by ste sa práve teraz sústrediť na najťažšie matematické otázky?

Ak s prípravou na štúdium ešte len začínate (alebo ak ste jednoducho preskočili tento prvý, zásadný krok), rozhodne zastavte a urobte si úplný cvičný test, aby ste zmerali svoju aktuálnu úroveň skóre. Pozrite si nášho sprievodcu všetky bezplatné cvičné testy SAT dostupné online a potom si sadnite a urobte test naraz.

Absolútne najlepší spôsob, ako zhodnotiť svoju aktuálnu úroveň, je jednoducho absolvovať cvičný test SAT, ako keby bol skutočný, dodržať prísne načasovanie a pracovať rovno s povolenými prestávkami (vieme – pravdepodobne to nie je váš obľúbený spôsob, ako stráviť sobotu). Keď budete mať dobrú predstavu o svojej aktuálnej úrovni a percentilovom hodnotení, môžete si nastaviť míľniky a ciele pre svoje konečné skóre SAT Math.

Ak momentálne dosahujete skóre v rozsahu 200-400 alebo 400-600 v SAT Math, najlepšie urobíte, ak si najprv pozriete nášho sprievodcu na zlepšenie vášho matematického skóre. byť dôsledne na úrovni 600 alebo viac, než sa pustíte do pokusu o zvládnutie najťažších matematických problémov v teste.

Ak však už v sekcii Matematika dosahujete viac ako 600 bodov a chcete si otestovať svoje schopnosti na skutočný SAT, určite pokračujte zvyškom tohto sprievodcu. Ak sa usilujete o dokonalé (alebo blízke) , potom budete musieť vedieť, ako vyzerajú najťažšie matematické otázky SAT a ako ich vyriešiť. A našťastie presne to urobíme.

POZOR: Keďže ich je obmedzený počet oficiálne cvičné testy SAT , možno budete chcieť počkať s prečítaním tohto článku, kým nevyskúšate všetky alebo väčšinu z prvých štyroch oficiálnych cvičných testov (keďže väčšina otázok uvedených nižšie bola prevzatá z týchto testov). Ak sa obávate, že tieto testy pokazíte, prestaňte teraz čítať túto príručku; vráťte sa a prečítajte si ich, keď ich dokončíte.

body_level_up-1

Teraz poďme na náš zoznam otázok (whoo)!

Obrázok: Niytx /DeviantArt

15 najťažších matematických SAT otázok

Teraz, keď ste si istí, že by ste sa mali pokúsiť o tieto otázky, poďme do toho! Nižšie sme pre vás vybrali 15 najťažších SAT matematických otázok, ktoré si môžete vyskúšať, spolu s návodmi, ako získať odpoveď (ak ste v rozpakoch).

Žiadna kalkulačka SAT matematické otázky

Otázka 1

$$C=5/9(F-32)$$

Vyššie uvedená rovnica ukazuje, ako súvisí teplota $F$, meraná v stupňoch Fahrenheita, s teplotou $C$ meranou v stupňoch Celzia. Na základe rovnice, ktorá z nasledujúcich možností musí byť pravdivá?

  1. Zvýšenie teploty o 1 stupeň Fahrenheita zodpovedá zvýšeniu teploty o 5 $/9 $ stupňov Celzia.
  2. Zvýšenie teploty o 1 stupeň Celzia zodpovedá zvýšeniu teploty o 1,8 stupňa Fahrenheita.
  3. Zvýšenie teploty o 5 $/9 $ stupňov Fahrenheita zodpovedá zvýšeniu teploty o 1 stupeň Celzia.

A) Len ja
B) Iba II
C) Iba III
D) Iba I a II

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Predstavte si rovnicu ako rovnicu pre priamku

$$y=mx+b$$

kde v tomto prípade

$$C= {5}/{9} (F-32)$$

alebo

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Môžete vidieť sklon grafu /{9}$, čo znamená, že pri zvýšení o 1 stupeň Fahrenheita je nárast o /{9}$ o 1 stupeň Celzia.

$$ C= {5}/{9} (F) $$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Preto je výrok I pravdivý. To je ekvivalentné tvrdeniu, že zvýšenie o 1 stupeň Celzia sa rovná zvýšeniu o {9} $/{5} $ stupňov Fahrenheita.

$$ C= {5}/{9} (F) $$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Keďže /{5}$ = 1,8, tvrdenie II je pravdivé.

Jediná odpoveď, ktorá má výrok I aj výrok II ako pravdivé, je D , ale ak máte čas a chcete byť úplne dôkladní, môžete tiež skontrolovať, či je pravdivé tvrdenie III (nárast o /{9}$ stupňov Fahrenheita sa rovná zvýšeniu teploty o 1 stupeň Celzia) :

$$ C= {5}/{9} (F) $$

$$ C= {5}/{9} ({5}/{9}) $$

$$C= {25} /{81} (čo je ≠ 1)$$

Zvýšenie o 5 $/9 $ stupňov Fahrenheita vedie k zvýšeniu o {25} $ / {81} $, nie o 1 stupeň Celzia, a preto tvrdenie III nie je pravdivé.

Konečná odpoveď je D.

Otázka 2

Rovnica${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}}$platí pre všetky hodnoty $x≠2/a$, kde $a$ je konštanta.

Aká je hodnota $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Existujú dva spôsoby riešenia tejto otázky. Rýchlejší spôsob je vynásobiť každú stranu danej rovnice $ax-2$ (takže sa zlomku môžete zbaviť). Keď vynásobíte každú stranu $ax-2$, mali by ste mať:

$x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Potom by ste mali vynásobiť $(-8x-3)$ a $(ax-2)$ pomocou FÓLIE.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Potom znížte na pravej strane rovnice

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Keďže koeficienty $x^2$-člena musia byť rovnaké na oboch stranách rovnice, $−8a = 24$, alebo $a = −3$.

Ďalšou možnosťou, ktorá je dlhšia a únavnejšia, je pokúsiť sa zapojiť všetky možnosti odpovedí pre a a zistiť, pri ktorej možnosti sú obe strany rovnice rovnaké. Toto je opäť dlhšia možnosť a neodporúčam ju pre skutočný SAT, pretože stratí príliš veľa času.

Konečná odpoveď je B.

Otázka 3

Ak x-y = 12$, aká je hodnota ${8^x}/{2^y}$?

A) $ 2^{12} $
B) 4 ^ 4 $
C) 8 ^ 2 $
D) Hodnotu nemožno určiť z uvedených informácií.

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Jeden prístup je vyjadrovať sa

$${8^x}/{2^y}$$

tak, že čitateľ a menovateľ sú vyjadrené s rovnakým základom. Keďže 2 a 8 sú obe mocniny 2, nahradením čísla ^3$ za 8 v čitateli ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ktorý sa dá prepísať

$${2^3x}/{2^y}$$

Keďže čitateľ a menovateľ majú spoločný základ, tento výraz možno prepísať ako ^(3x−y)$. V otázke sa uvádza, že x − y = 12$, takže za exponent x − y$ možno nahradiť 12, čo znamená, že

$${8^x}/{2^y}= 2^12 $$

Konečná odpoveď je A.

Otázka 4

Body A a B ležia na kružnici s polomerom 1 a oblúk ${AB}↖⌢$ má dĺžku $π/3$. Aký zlomok obvodu kruhu je dĺžka oblúka ${AB}↖⌢$?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Aby ste našli odpoveď na túto otázku, musíte najprv poznať vzorec na nájdenie obvodu kruhu.

Obvod, $C$, kruhu je $C = 2πr$, kde $r$ je polomer kruhu. Pre daný kruh s polomerom 1 je obvod $C = 2(π)(1)$, alebo $C = 2π$.

Ak chcete zistiť, aký zlomok obvodu je dĺžka ${AB}↖⌢$, vydeľte dĺžku oblúka obvodom, čím získate $π/3 ÷ 2π$. Toto rozdelenie môže byť vyjadrené ako $π/3 * {1/2}π = 1/6 $.

Zlomok $ 1/6 $ môže byť tiež prepísaný ako $ 0,166 $ alebo $ 0,167 $.

Konečná odpoveď je $ 1/6 $, $ 0,166 $ alebo $ 0,167 $.

Otázka 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ak je vyššie uvedený výraz prepísaný do tvaru $a+bi$, kde $a$ a $b$ sú reálne čísla, akú hodnotu má $a$? (Poznámka: $i=√{-1}$)

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Ak chcete prepísať ${8-i}/{3-2i}$ do štandardného tvaru $a + bi$, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa ${8-i}/{3-2i}$ konjugátom , $ 3 + 2i $. Toto sa rovná

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Keďže $i^2=-1$, tento posledný zlomok možno zredukovať zjednodušene na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

čo sa ďalej zjednodušuje na + i$. Preto, keď sa ${8-i}/{3-2i}$ prepíše do štandardného tvaru a + bi, hodnota a je 2.

Konečná odpoveď je A.

Otázka 6

V trojuholníku $ABC$ je miera $∠B$ 90°, $BC=16$ a $AC$=20. Trojuholník $DEF$ je podobný trojuholníku $ABC$, kde vrcholy $D$, $E$ a $F$ zodpovedajú vrcholom $A$, $B$ a $C$ a každá strana trojuholníka $ DEF$ je /3$ dĺžka zodpovedajúcej strany trojuholníka $ABC$. Aká je hodnota $sinF$?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom v B. Preto $ov {AC}$ je prepona pravouhlého trojuholníka ABC a $ov {AB}$ a $ov {BC}$ sú nohy pravouhlý trojuholník ABC. Podľa Pytagorovej vety,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Keďže trojuholník DEF je podobný trojuholníku ABC, s vrcholom F zodpovedajúcim vrcholu C, miera $uhol ∠ {F}$ sa rovná miere $uhol ∠ {C}$. Preto $sin F = sin C$. Z dĺžok strán trojuholníka ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Preto $sinF ={3}/{5}$.

Konečná odpoveď je /{5}$ alebo 0,6.

Kalkulačka-povolené SAT matematické otázky

Otázka 7

body_handednesschart.webp

Neúplná tabuľka vyššie sumarizuje počet ľavákov a pravákov podľa pohlavia pre študentov ôsmeho ročníka na strednej škole Keisel. Pravákov je 5-krát viac ako ľavákov a 9-krát viac pravákov ako ľavákov. ak je v škole spolu 18 ľavákov a 122 pravákov, ktorá z nasledujúcich možností sa najviac približuje pravdepodobnosti, že náhodne vybraným pravákom je žena? (Poznámka: Predpokladajme, že žiadny zo žiakov ôsmeho ročníka nie je pravák ani ľavák.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Na vyriešenie tohto problému by ste mali vytvoriť dve rovnice pomocou dvoch premenných ($x$ a $y$) a informácií, ktoré ste dostali. Nech $x$ je počet ľavákov a $y$ je počet ľavákov. Na základe informácií uvedených v úlohe bude počet pravorukých študentiek x$ a počet pravorukých študentov bude y$. Keďže celkový počet študentov ľavákov je 18 a celkový počet študentov pravákov je 122, systém rovníc nižšie musí platiť:

$$x + y = 18 $$

$x + 9r = 122 $$

Keď vyriešite tento systém rovníc, dostanete $ x = 10 $ a $ y = 8 $. Teda 5*10 alebo 50 zo 122 pravákov sú ženy. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraným pravorukým študentom je žena, je preto {50}$/{122}$, čo je zaokrúhlené na tisícinu 0,410.

Konečná odpoveď je A.

Otázky 8 a 9

Pre otázku 7 aj otázku 8 použite nasledujúce informácie.

Ak kupujúci vstúpia do obchodu priemernou rýchlosťou $ r$ kupujúcich za minútu a každý zostane v obchode priemerný čas $ T $ minút, uvádza sa priemerný počet nakupujúcich v obchode, $ N $, kedykoľvek podľa vzorca $N=rT$. Tento vzťah je známy ako Littleov zákon.

Majiteľ Good Deals Store odhaduje, že počas pracovnej doby vstúpia do predajne v priemere 3 kupujúci za minútu a každý z nich sa zdrží v priemere 15 minút. Majiteľ obchodu podľa Littleovho zákona odhaduje, že v obchode je kedykoľvek 45 nakupujúcich.

Otázka 8

Littleov zákon možno aplikovať na ktorúkoľvek časť obchodu, ako je konkrétne oddelenie alebo pokladničné linky. Majiteľ obchodu určí, že počas pracovnej doby uskutoční nákup približne 84 kupujúcich za hodinu a každý z týchto kupujúcich strávi v rade pri pokladni v priemere 5 minút. Kedykoľvek počas pracovnej doby približne koľko kupujúcich v priemere čaká v rade pri pokladni na nákup v obchode Good Deals Store?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Keďže v otázke sa uvádza, že Littleov zákon možno uplatniť na ktorúkoľvek časť obchodu (napríklad iba na pokladničný riadok), potom je priemerný počet nakupujúcich, $N$, v každom čase v pokladni $N = rT $, kde $r$ je počet kupujúcich, ktorí vstúpia do pokladničného radu za minútu a $T$ je priemerný počet minút, ktoré každý kupujúci strávi v pokladni.

Keďže 84 nakupujúcich za hodinu uskutoční nákup, do radu pokladní vstúpi 84 kupujúcich za hodinu. Toto je však potrebné previesť na počet nakupujúcich za minútu (aby bolo možné použiť s $ T = 5 $). Keďže jedna hodina má 60 minút, sadzba je ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ nakupujúcich za minútu. Použitím daného vzorca s $ r = 1,4 $ a $ T = 5 $ výnosy

$ $ N = rt = (1,4) (5) = 7 $ $

Preto je priemerný počet nakupujúcich, $N$, v rade pri pokladni kedykoľvek počas pracovnej doby 7.

Konečná odpoveď je 7.

Otázka 9

Majiteľ Good Deals Store otvára novú predajňu po celom meste. V prípade novej predajne majiteľ odhaduje, že počas otváracích hodín bude v priemere 90 nakupujúcich nahodinavstúpiť do predajne a každý z nich sa zdrží v priemere 12 minút. Priemerný počet nakupujúcich kedykoľvek v novom obchode je o koľko percent nižší ako priemerný počet kupujúcich v pôvodnom obchode kedykoľvek? (Poznámka: Pri zadávaní odpovede ignorujte symbol percenta. Ak je napríklad odpoveď 42,1 %, zadajte 42,1)

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Podľa pôvodných informácií je odhadovaný priemerný počet nakupujúcich v pôvodnej predajni v ľubovoľnom čase (N) 45. V otázke uvádza, že v novej predajni vedúci odhaduje priemerne 90 nakupujúcich za hodinu. (60 minút) vstúpiť do obchodu, čo zodpovedá 1,5 nakupujúcim za minútu (r). Manažér tiež odhaduje, že každý nakupujúci sa v obchode zdrží v priemere 12 minút (T). Podľa Littleovho zákona je teda v novom obchode kedykoľvek v priemere $N = rT = (1,5)(12) = 18 $ nakupujúcich. Toto je

$${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

percent menej ako priemerný počet nakupujúcich v pôvodnom obchode kedykoľvek.

Konečná odpoveď je 60.

Otázka 10

V $xy$-rovine leží bod $(p,r)$ na priamke s rovnicou $y=x+b$, kde $b$ je konštanta. Bod so súradnicami $(2p, 5r)$ leží na priamke s rovnicou $y=2x+b$. Ak $p≠0$, aká je hodnota $r/p$?

A) $ 2/5 $

B) $ 3/4 $

C) $ 4/3 $

D) 5 USD/2 USD

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Keďže bod $(p,r)$ leží na priamke s rovnicou $y=x+b$, bod musí rovnicu spĺňať. Nahradením $p$ za $x$ a $r$ za $y$ v rovnici $y=x+b$ dostane $r=p+b$ alebo $i b$ = $i r-i p $.

Podobne, keďže bod $(2p,5r)$ leží na priamke s rovnicou $y=2x+b$, bod musí rovnicu spĺňať. Nahradením p$ za $x$ a r$ za $y$ v rovnici $y=2x+b$ dostaneme:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Ďalej môžeme tieto dve rovnice rovnať $b$ a zjednodušiť to:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

Nakoniec, aby sme našli $r/p$, musíme obe strany rovnice rozdeliť $p$ a $:

p=4r$

3 $ = {4r}/p$

/4=r/p$

Správna odpoveď je B , $ 3/4 $.

Ak ste si vybrali možnosti A a D, možno ste nesprávne zostavili svoju odpoveď z koeficientov v bode $(2p, 5r)$. Ak ste si vybrali možnosť C, možno ste si pomýlili $r$ a $p$.

Všimnite si, že aj keď je to v sekcii kalkulačky SAT, absolútne nepotrebujete svoju kalkulačku, aby ste to vyriešili!

Otázka 11

body_grainsilo.webp Obilné silo je postavené z dvoch pravých kruhových kužeľov a pravého kruhového valca s vnútornými rozmermi znázornenými na obrázku vyššie. Ktorá z nasledujúcich možností je najbližšie k objemu obilného sila v kubických stopách?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Objem obilného sila možno zistiť sčítaním objemov všetkých pevných látok, z ktorých sa skladá (valec a dva kužele). Silo sa skladá z valca (s výškou 10 stôp a polomerom základne 5 stôp) a dvoch kužeľov (každý s výškou 5 stôp a polomerom základne 5 stôp). Vzorce uvedené na začiatku časti SAT Math:

Objem kužeľa

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Objem valca

$$V=πr^2h$$

možno použiť na určenie celkového objemu sila. Pretože dva kužele majú rovnaké rozmery, celkový objem sila v kubických stopách je daný hodnotou

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

čo sa približne rovná 1 047,2 kubických stôp.

Konečná odpoveď je D.

Otázka 12

Ak $x$ je priemer (aritmetický priemer) $m$ a $, $y$ je priemer m$ a $ a $z$ je priemer m$ a 18$, čo je priemer $ x $, $ y $ a $ z $ v hodnote $ m $?

A) $ m + 6 $
B) $ m + 7 $
C) $ 2 milióny + 14 $
D) 3 milióny dolárov + 21 dolárov

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Keďže priemer (aritmetický priemer) dvoch čísel sa rovná súčtu dvoch čísel delených 2, rovnice $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$sú pravdivé. Priemer $x$, $y$ a $z$ je daný ako ${x + y + z}/{3} $. Nahradením výrazov v m pre každú premennú ($x$, $y$, $z$) dostaneme

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Tento zlomok možno zjednodušiť na $ m + 7 $.

Konečná odpoveď je B.

Otázka 13

body_thefunction.webp

Funkcia $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je vykreslená v rovine $xy$ vyššie. Ak $k$ je konštanta taká, že rovnica $f(x)=k$ má tri reálne riešenia, ktoré z nasledujúcich môže mať hodnotu $k$?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Rovnica $f(x) = k$ dáva riešenia sústavy rovníc

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

inštanciovaná java

a

$$y = k$$

Reálne riešenie sústavy dvoch rovníc zodpovedá priesečníku grafov dvoch rovníc v $xy$-rovine.

Graf $y = k$ je vodorovná čiara, ktorá obsahuje bod $(0, k)$ a pretína graf kubickej rovnice trikrát (keďže má tri reálne riešenia). Vzhľadom na graf je jediná vodorovná čiara, ktorá by trikrát pretínala kubickú rovnicu, čiara s rovnicou $y = −3$ alebo $f(x) = −3$. Preto $k$ je $-3$.

Konečná odpoveď je D.

Otázka 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dynamický tlak $q$ generovaný tekutinou pohybujúcou sa rýchlosťou $v$ možno nájsť pomocou vyššie uvedeného vzorca, kde $n$ je konštantná hustota tekutiny. Letecký inžinier používa vzorec na nájdenie dynamického tlaku tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou $v$ a rovnakej tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou 1,5 $v$. Aký je pomer dynamického tlaku rýchlejšej tekutiny k dynamickému tlaku pomalšej tekutiny?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Na vyriešenie tohto problému je potrebné nastaviť rovnice s premennými. Nech $q_1$ je dynamický tlak pomalšej tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou $v_1$ a nech $q_2$ je dynamický tlak rýchlejšej tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou $v_2$. Potom

$$v_2 = 1,5v_1$$

Vzhľadom na rovnicu $q = {1}/{2}nv^2$, nahradením dynamického tlaku a rýchlosti rýchlejšej tekutiny dostaneme $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Keďže $v_2 =1,5v_1$, výraz ,5v_1$ možno v tejto rovnici nahradiť výrazom $v_2$, čím sa získa $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Odmocnením 1,5 $ môžete prepísať predchádzajúcu rovnicu ako

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Preto je pomer dynamického tlaku rýchlejšej tekutiny

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25 $$

Konečná odpoveď je 2,25 alebo 9/4.

Otázka 15

Pre polynóm $p(x)$ je hodnota $p(3)$ $-2$. Čo z nasledujúceho musí platiť o $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Zvyšok, keď $p(x)$ vydelíme $x-3$, je $-2$.

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Ak je polynóm $p(x)$ delený polynómom v tvare $x+k$ (čo zodpovedá všetkým možným odpovediam v tejto otázke), výsledok možno zapísať ako

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kde $q(x)$ je polynóm a $r$ je zvyšok. Keďže $x + k$ je polynóm stupňa 1 (to znamená, že obsahuje iba $x^1$ a žiadne vyššie exponenty), zvyšok je reálne číslo.

Preto $p(x)$ možno prepísať ako $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kde $r$ je reálne číslo.

Otázka uvádza, že $p(3) = -2$, takže to musí byť pravda

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Teraz môžeme zapojiť všetky možné odpovede. Ak je odpoveď A, B alebo C, $r$ bude

feature_climb

Chcete sa otestovať proti najťažším matematickým otázkam SAT? Chcete vedieť, prečo sú tieto otázky také ťažké a ako ich najlepšie vyriešiť? Ak ste pripravení skutočne sa ponoriť do matematickej sekcie SAT a zamerať sa na dokonalé skóre, toto je sprievodca pre vás.

Dali sme dokopy to, o čom veríme, že je 15 najťažších otázok pre aktuálny SAT so stratégiami a vysvetleniami odpovedí pre každú z nich. Toto všetko sú ťažké matematické otázky SAT z praktických testov SAT College Board, čo znamená, že ich pochopenie je jedným z najlepších spôsobov štúdia pre tých z vás, ktorí sa snažia o dokonalosť.

Obrázok: Sonia Sevilla /Wikimedia

Stručný prehľad SAT Math

Tretia a štvrtá sekcia SAT budú vždy matematické sekcie . Prvý matematický pododdiel (označený '3') robí nie vám umožní používať kalkulačku, zatiaľ čo druhá matematická podsekcia (označená ako „4“) robí umožňujú používanie kalkulačky. Nerobte si však veľké starosti so sekciou bez kalkulačky: ak na otázku nemôžete použiť kalkulačku, znamená to, že na jej zodpovedanie nepotrebujete kalkulačku.

Každá podsekcia matematiky je usporiadaná v poradí vzostupnej náročnosti (kde čím dlhšie trvá vyriešenie problému a čím menej ľudí naň odpovie správne, tým je to náročnejšie). V každej podsekcii bude otázka 1 „ľahká“ a otázka 15 sa bude považovať za „ťažkú“. Stúpajúca obtiažnosť sa však na grid-inoch resetuje z ľahkej na ťažkú.

Preto sú otázky s výberom z viacerých odpovedí usporiadané so zvyšujúcou sa obtiažnosťou (otázky 1 a 2 budú najjednoduchšie, otázky 14 a 15 najťažšie), ale úroveň obtiažnosti sa pre sekciu mriežky resetuje (to znamená, že otázky 16 a 17 budú opäť „ľahké“ a otázky 19 a 20 budú veľmi ťažké).

Až na pár výnimiek teda najťažšie matematické problémy SAT budú zoskupené na konci segmentov s výberom z viacerých možností alebo v druhej polovici mriežkových otázok. Okrem ich umiestnenia v teste však tieto otázky zdieľajú aj niekoľko ďalších spoločných čŕt. O chvíľu sa pozrieme na príklady otázok a na ich riešenie, potom ich analyzujeme, aby sme zistili, čo majú tieto typy otázok spoločné.

Ale najprv: Mali by ste sa práve teraz sústrediť na najťažšie matematické otázky?

Ak s prípravou na štúdium ešte len začínate (alebo ak ste jednoducho preskočili tento prvý, zásadný krok), rozhodne zastavte a urobte si úplný cvičný test, aby ste zmerali svoju aktuálnu úroveň skóre. Pozrite si nášho sprievodcu všetky bezplatné cvičné testy SAT dostupné online a potom si sadnite a urobte test naraz.

Absolútne najlepší spôsob, ako zhodnotiť svoju aktuálnu úroveň, je jednoducho absolvovať cvičný test SAT, ako keby bol skutočný, dodržať prísne načasovanie a pracovať rovno s povolenými prestávkami (vieme – pravdepodobne to nie je váš obľúbený spôsob, ako stráviť sobotu). Keď budete mať dobrú predstavu o svojej aktuálnej úrovni a percentilovom hodnotení, môžete si nastaviť míľniky a ciele pre svoje konečné skóre SAT Math.

Ak momentálne dosahujete skóre v rozsahu 200-400 alebo 400-600 v SAT Math, najlepšie urobíte, ak si najprv pozriete nášho sprievodcu na zlepšenie vášho matematického skóre. byť dôsledne na úrovni 600 alebo viac, než sa pustíte do pokusu o zvládnutie najťažších matematických problémov v teste.

Ak však už v sekcii Matematika dosahujete viac ako 600 bodov a chcete si otestovať svoje schopnosti na skutočný SAT, určite pokračujte zvyškom tohto sprievodcu. Ak sa usilujete o dokonalé (alebo blízke) , potom budete musieť vedieť, ako vyzerajú najťažšie matematické otázky SAT a ako ich vyriešiť. A našťastie presne to urobíme.

POZOR: Keďže ich je obmedzený počet oficiálne cvičné testy SAT , možno budete chcieť počkať s prečítaním tohto článku, kým nevyskúšate všetky alebo väčšinu z prvých štyroch oficiálnych cvičných testov (keďže väčšina otázok uvedených nižšie bola prevzatá z týchto testov). Ak sa obávate, že tieto testy pokazíte, prestaňte teraz čítať túto príručku; vráťte sa a prečítajte si ich, keď ich dokončíte.

body_level_up-1

Teraz poďme na náš zoznam otázok (whoo)!

Obrázok: Niytx /DeviantArt

15 najťažších matematických SAT otázok

Teraz, keď ste si istí, že by ste sa mali pokúsiť o tieto otázky, poďme do toho! Nižšie sme pre vás vybrali 15 najťažších SAT matematických otázok, ktoré si môžete vyskúšať, spolu s návodmi, ako získať odpoveď (ak ste v rozpakoch).

Žiadna kalkulačka SAT matematické otázky

Otázka 1

$$C=5/9(F-32)$$

Vyššie uvedená rovnica ukazuje, ako súvisí teplota $F$, meraná v stupňoch Fahrenheita, s teplotou $C$ meranou v stupňoch Celzia. Na základe rovnice, ktorá z nasledujúcich možností musí byť pravdivá?

  1. Zvýšenie teploty o 1 stupeň Fahrenheita zodpovedá zvýšeniu teploty o 5 $/9 $ stupňov Celzia.
  2. Zvýšenie teploty o 1 stupeň Celzia zodpovedá zvýšeniu teploty o 1,8 stupňa Fahrenheita.
  3. Zvýšenie teploty o 5 $/9 $ stupňov Fahrenheita zodpovedá zvýšeniu teploty o 1 stupeň Celzia.

A) Len ja
B) Iba II
C) Iba III
D) Iba I a II

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Predstavte si rovnicu ako rovnicu pre priamku

$$y=mx+b$$

kde v tomto prípade

$$C= {5}/{9} (F-32)$$

alebo

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Môžete vidieť sklon grafu ${5}/{9}$, čo znamená, že pri zvýšení o 1 stupeň Fahrenheita je nárast o ${5}/{9}$ o 1 stupeň Celzia.

$$ C= {5}/{9} (F) $$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Preto je výrok I pravdivý. To je ekvivalentné tvrdeniu, že zvýšenie o 1 stupeň Celzia sa rovná zvýšeniu o {9} $/{5} $ stupňov Fahrenheita.

$$ C= {5}/{9} (F) $$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Keďže ${9}/{5}$ = 1,8, tvrdenie II je pravdivé.

Jediná odpoveď, ktorá má výrok I aj výrok II ako pravdivé, je D , ale ak máte čas a chcete byť úplne dôkladní, môžete tiež skontrolovať, či je pravdivé tvrdenie III (nárast o ${5}/{9}$ stupňov Fahrenheita sa rovná zvýšeniu teploty o 1 stupeň Celzia) :

$$ C= {5}/{9} (F) $$

$$ C= {5}/{9} ({5}/{9}) $$

$$C= {25} /{81} (čo je ≠ 1)$$

Zvýšenie o 5 $/9 $ stupňov Fahrenheita vedie k zvýšeniu o {25} $ / {81} $, nie o 1 stupeň Celzia, a preto tvrdenie III nie je pravdivé.

Konečná odpoveď je D.

Otázka 2

Rovnica${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}}$platí pre všetky hodnoty $x≠2/a$, kde $a$ je konštanta.

Aká je hodnota $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Existujú dva spôsoby riešenia tejto otázky. Rýchlejší spôsob je vynásobiť každú stranu danej rovnice $ax-2$ (takže sa zlomku môžete zbaviť). Keď vynásobíte každú stranu $ax-2$, mali by ste mať:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53 $$

Potom by ste mali vynásobiť $(-8x-3)$ a $(ax-2)$ pomocou FÓLIE.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53 $$

Potom znížte na pravej strane rovnice

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47 $$

Keďže koeficienty $x^2$-člena musia byť rovnaké na oboch stranách rovnice, $−8a = 24$, alebo $a = −3$.

Ďalšou možnosťou, ktorá je dlhšia a únavnejšia, je pokúsiť sa zapojiť všetky možnosti odpovedí pre a a zistiť, pri ktorej možnosti sú obe strany rovnice rovnaké. Toto je opäť dlhšia možnosť a neodporúčam ju pre skutočný SAT, pretože stratí príliš veľa času.

Konečná odpoveď je B.

Otázka 3

Ak $3x-y = 12$, aká je hodnota ${8^x}/{2^y}$?

A) $ 2^{12} $
B) 4 ^ 4 $
C) 8 ^ 2 $
D) Hodnotu nemožno určiť z uvedených informácií.

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Jeden prístup je vyjadrovať sa

$${8^x}/{2^y}$$

tak, že čitateľ a menovateľ sú vyjadrené s rovnakým základom. Keďže 2 a 8 sú obe mocniny 2, nahradením čísla $2^3$ za 8 v čitateli ${8^x}/{2^y}$

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

ktorý sa dá prepísať

$${2^3x}/{2^y}$$

Keďže čitateľ a menovateľ majú spoločný základ, tento výraz možno prepísať ako $2^(3x−y)$. V otázke sa uvádza, že $3x − y = 12$, takže za exponent $3x − y$ možno nahradiť 12, čo znamená, že

$${8^x}/{2^y}= 2^12 $$

Konečná odpoveď je A.

Otázka 4

Body A a B ležia na kružnici s polomerom 1 a oblúk ${AB}↖⌢$ má dĺžku $π/3$. Aký zlomok obvodu kruhu je dĺžka oblúka ${AB}↖⌢$?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Aby ste našli odpoveď na túto otázku, musíte najprv poznať vzorec na nájdenie obvodu kruhu.

Obvod, $C$, kruhu je $C = 2πr$, kde $r$ je polomer kruhu. Pre daný kruh s polomerom 1 je obvod $C = 2(π)(1)$, alebo $C = 2π$.

Ak chcete zistiť, aký zlomok obvodu je dĺžka ${AB}↖⌢$, vydeľte dĺžku oblúka obvodom, čím získate $π/3 ÷ 2π$. Toto rozdelenie môže byť vyjadrené ako $π/3 * {1/2}π = 1/6 $.

Zlomok $ 1/6 $ môže byť tiež prepísaný ako $ 0,166 $ alebo $ 0,167 $.

Konečná odpoveď je $ 1/6 $, $ 0,166 $ alebo $ 0,167 $.

Otázka 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Ak je vyššie uvedený výraz prepísaný do tvaru $a+bi$, kde $a$ a $b$ sú reálne čísla, akú hodnotu má $a$? (Poznámka: $i=√{-1}$)

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Ak chcete prepísať ${8-i}/{3-2i}$ do štandardného tvaru $a + bi$, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa ${8-i}/{3-2i}$ konjugátom , $ 3 + 2i $. Toto sa rovná

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Keďže $i^2=-1$, tento posledný zlomok možno zredukovať zjednodušene na

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

čo sa ďalej zjednodušuje na $2 + i$. Preto, keď sa ${8-i}/{3-2i}$ prepíše do štandardného tvaru a + bi, hodnota a je 2.

Konečná odpoveď je A.

Otázka 6

V trojuholníku $ABC$ je miera $∠B$ 90°, $BC=16$ a $AC$=20. Trojuholník $DEF$ je podobný trojuholníku $ABC$, kde vrcholy $D$, $E$ a $F$ zodpovedajú vrcholom $A$, $B$ a $C$ a každá strana trojuholníka $ DEF$ je $1/3$ dĺžka zodpovedajúcej strany trojuholníka $ABC$. Aká je hodnota $sinF$?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom v B. Preto $ov {AC}$ je prepona pravouhlého trojuholníka ABC a $ov {AB}$ a $ov {BC}$ sú nohy pravouhlý trojuholník ABC. Podľa Pytagorovej vety,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Keďže trojuholník DEF je podobný trojuholníku ABC, s vrcholom F zodpovedajúcim vrcholu C, miera $uhol ∠ {F}$ sa rovná miere $uhol ∠ {C}$. Preto $sin F = sin C$. Z dĺžok strán trojuholníka ABC,

$$sinF ={opposite side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Preto $sinF ={3}/{5}$.

Konečná odpoveď je ${3}/{5}$ alebo 0,6.

Kalkulačka-povolené SAT matematické otázky

Otázka 7

body_handednesschart.webp

Neúplná tabuľka vyššie sumarizuje počet ľavákov a pravákov podľa pohlavia pre študentov ôsmeho ročníka na strednej škole Keisel. Pravákov je 5-krát viac ako ľavákov a 9-krát viac pravákov ako ľavákov. ak je v škole spolu 18 ľavákov a 122 pravákov, ktorá z nasledujúcich možností sa najviac približuje pravdepodobnosti, že náhodne vybraným pravákom je žena? (Poznámka: Predpokladajme, že žiadny zo žiakov ôsmeho ročníka nie je pravák ani ľavák.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Na vyriešenie tohto problému by ste mali vytvoriť dve rovnice pomocou dvoch premenných ($x$ a $y$) a informácií, ktoré ste dostali. Nech $x$ je počet ľavákov a $y$ je počet ľavákov. Na základe informácií uvedených v úlohe bude počet pravorukých študentiek $5x$ a počet pravorukých študentov bude $9y$. Keďže celkový počet študentov ľavákov je 18 a celkový počet študentov pravákov je 122, systém rovníc nižšie musí platiť:

$$x + y = 18 $$

$$5x + 9r = 122 $$

Keď vyriešite tento systém rovníc, dostanete $ x = 10 $ a $ y = 8 $. Teda 5*10 alebo 50 zo 122 pravákov sú ženy. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraným pravorukým študentom je žena, je preto {50}$/{122}$, čo je zaokrúhlené na tisícinu 0,410.

Konečná odpoveď je A.

Otázky 8 a 9

Pre otázku 7 aj otázku 8 použite nasledujúce informácie.

Ak kupujúci vstúpia do obchodu priemernou rýchlosťou $ r$ kupujúcich za minútu a každý zostane v obchode priemerný čas $ T $ minút, uvádza sa priemerný počet nakupujúcich v obchode, $ N $, kedykoľvek podľa vzorca $N=rT$. Tento vzťah je známy ako Littleov zákon.

Majiteľ Good Deals Store odhaduje, že počas pracovnej doby vstúpia do predajne v priemere 3 kupujúci za minútu a každý z nich sa zdrží v priemere 15 minút. Majiteľ obchodu podľa Littleovho zákona odhaduje, že v obchode je kedykoľvek 45 nakupujúcich.

Otázka 8

Littleov zákon možno aplikovať na ktorúkoľvek časť obchodu, ako je konkrétne oddelenie alebo pokladničné linky. Majiteľ obchodu určí, že počas pracovnej doby uskutoční nákup približne 84 kupujúcich za hodinu a každý z týchto kupujúcich strávi v rade pri pokladni v priemere 5 minút. Kedykoľvek počas pracovnej doby približne koľko kupujúcich v priemere čaká v rade pri pokladni na nákup v obchode Good Deals Store?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Keďže v otázke sa uvádza, že Littleov zákon možno uplatniť na ktorúkoľvek časť obchodu (napríklad iba na pokladničný riadok), potom je priemerný počet nakupujúcich, $N$, v každom čase v pokladni $N = rT $, kde $r$ je počet kupujúcich, ktorí vstúpia do pokladničného radu za minútu a $T$ je priemerný počet minút, ktoré každý kupujúci strávi v pokladni.

Keďže 84 nakupujúcich za hodinu uskutoční nákup, do radu pokladní vstúpi 84 kupujúcich za hodinu. Toto je však potrebné previesť na počet nakupujúcich za minútu (aby bolo možné použiť s $ T = 5 $). Keďže jedna hodina má 60 minút, sadzba je ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4$ nakupujúcich za minútu. Použitím daného vzorca s $ r = 1,4 $ a $ T = 5 $ výnosy

$ $ N = rt = (1,4) (5) = 7 $ $

Preto je priemerný počet nakupujúcich, $N$, v rade pri pokladni kedykoľvek počas pracovnej doby 7.

Konečná odpoveď je 7.

Otázka 9

Majiteľ Good Deals Store otvára novú predajňu po celom meste. V prípade novej predajne majiteľ odhaduje, že počas otváracích hodín bude v priemere 90 nakupujúcich nahodinavstúpiť do predajne a každý z nich sa zdrží v priemere 12 minút. Priemerný počet nakupujúcich kedykoľvek v novom obchode je o koľko percent nižší ako priemerný počet kupujúcich v pôvodnom obchode kedykoľvek? (Poznámka: Pri zadávaní odpovede ignorujte symbol percenta. Ak je napríklad odpoveď 42,1 %, zadajte 42,1)

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Podľa pôvodných informácií je odhadovaný priemerný počet nakupujúcich v pôvodnej predajni v ľubovoľnom čase (N) 45. V otázke uvádza, že v novej predajni vedúci odhaduje priemerne 90 nakupujúcich za hodinu. (60 minút) vstúpiť do obchodu, čo zodpovedá 1,5 nakupujúcim za minútu (r). Manažér tiež odhaduje, že každý nakupujúci sa v obchode zdrží v priemere 12 minút (T). Podľa Littleovho zákona je teda v novom obchode kedykoľvek v priemere $N = rT = (1,5)(12) = 18 $ nakupujúcich. Toto je

$${45-18}/{45} * 100 = 60 $$

percent menej ako priemerný počet nakupujúcich v pôvodnom obchode kedykoľvek.

Konečná odpoveď je 60.

Otázka 10

V $xy$-rovine leží bod $(p,r)$ na priamke s rovnicou $y=x+b$, kde $b$ je konštanta. Bod so súradnicami $(2p, 5r)$ leží na priamke s rovnicou $y=2x+b$. Ak $p≠0$, aká je hodnota $r/p$?

A) $ 2/5 $

B) $ 3/4 $

C) $ 4/3 $

D) 5 USD/2 USD

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Keďže bod $(p,r)$ leží na priamke s rovnicou $y=x+b$, bod musí rovnicu spĺňať. Nahradením $p$ za $x$ a $r$ za $y$ v rovnici $y=x+b$ dostane $r=p+b$ alebo $i b$ = $i r-i p $.

Podobne, keďže bod $(2p,5r)$ leží na priamke s rovnicou $y=2x+b$, bod musí rovnicu spĺňať. Nahradením $2p$ za $x$ a $5r$ za $y$ v rovnici $y=2x+b$ dostaneme:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

Ďalej môžeme tieto dve rovnice rovnať $b$ a zjednodušiť to:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Nakoniec, aby sme našli $r/p$, musíme obe strany rovnice rozdeliť $p$ a $4$:

$3p=4r$

3 $ = {4r}/p$

$3/4=r/p$

Správna odpoveď je B , $ 3/4 $.

Ak ste si vybrali možnosti A a D, možno ste nesprávne zostavili svoju odpoveď z koeficientov v bode $(2p, 5r)$. Ak ste si vybrali možnosť C, možno ste si pomýlili $r$ a $p$.

Všimnite si, že aj keď je to v sekcii kalkulačky SAT, absolútne nepotrebujete svoju kalkulačku, aby ste to vyriešili!

Otázka 11

body_grainsilo.webp Obilné silo je postavené z dvoch pravých kruhových kužeľov a pravého kruhového valca s vnútornými rozmermi znázornenými na obrázku vyššie. Ktorá z nasledujúcich možností je najbližšie k objemu obilného sila v kubických stopách?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Objem obilného sila možno zistiť sčítaním objemov všetkých pevných látok, z ktorých sa skladá (valec a dva kužele). Silo sa skladá z valca (s výškou 10 stôp a polomerom základne 5 stôp) a dvoch kužeľov (každý s výškou 5 stôp a polomerom základne 5 stôp). Vzorce uvedené na začiatku časti SAT Math:

Objem kužeľa

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Objem valca

$$V=πr^2h$$

možno použiť na určenie celkového objemu sila. Pretože dva kužele majú rovnaké rozmery, celkový objem sila v kubických stopách je daný hodnotou

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

čo sa približne rovná 1 047,2 kubických stôp.

Konečná odpoveď je D.

Otázka 12

Ak $x$ je priemer (aritmetický priemer) $m$ a $9$, $y$ je priemer $2m$ a $15$ a $z$ je priemer $3m$ a 18$, čo je priemer $ x $, $ y $ a $ z $ v hodnote $ m $?

A) $ m + 6 $
B) $ m + 7 $
C) $ 2 milióny + 14 $
D) 3 milióny dolárov + 21 dolárov

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Keďže priemer (aritmetický priemer) dvoch čísel sa rovná súčtu dvoch čísel delených 2, rovnice $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$sú pravdivé. Priemer $x$, $y$ a $z$ je daný ako ${x + y + z}/{3} $. Nahradením výrazov v m pre každú premennú ($x$, $y$, $z$) dostaneme

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Tento zlomok možno zjednodušiť na $ m + 7 $.

Konečná odpoveď je B.

Otázka 13

body_thefunction.webp

Funkcia $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ je vykreslená v rovine $xy$ vyššie. Ak $k$ je konštanta taká, že rovnica $f(x)=k$ má tri reálne riešenia, ktoré z nasledujúcich môže mať hodnotu $k$?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Rovnica $f(x) = k$ dáva riešenia sústavy rovníc

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

a

$$y = k$$

Reálne riešenie sústavy dvoch rovníc zodpovedá priesečníku grafov dvoch rovníc v $xy$-rovine.

Graf $y = k$ je vodorovná čiara, ktorá obsahuje bod $(0, k)$ a pretína graf kubickej rovnice trikrát (keďže má tri reálne riešenia). Vzhľadom na graf je jediná vodorovná čiara, ktorá by trikrát pretínala kubickú rovnicu, čiara s rovnicou $y = −3$ alebo $f(x) = −3$. Preto $k$ je $-3$.

Konečná odpoveď je D.

Otázka 14

$$q={1/2}nv^2$$

Dynamický tlak $q$ generovaný tekutinou pohybujúcou sa rýchlosťou $v$ možno nájsť pomocou vyššie uvedeného vzorca, kde $n$ je konštantná hustota tekutiny. Letecký inžinier používa vzorec na nájdenie dynamického tlaku tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou $v$ a rovnakej tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou 1,5 $v$. Aký je pomer dynamického tlaku rýchlejšej tekutiny k dynamickému tlaku pomalšej tekutiny?

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Na vyriešenie tohto problému je potrebné nastaviť rovnice s premennými. Nech $q_1$ je dynamický tlak pomalšej tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou $v_1$ a nech $q_2$ je dynamický tlak rýchlejšej tekutiny pohybujúcej sa rýchlosťou $v_2$. Potom

$$v_2 = 1,5v_1$$

Vzhľadom na rovnicu $q = {1}/{2}nv^2$, nahradením dynamického tlaku a rýchlosti rýchlejšej tekutiny dostaneme $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Keďže $v_2 =1,5v_1$, výraz $1,5v_1$ možno v tejto rovnici nahradiť výrazom $v_2$, čím sa získa $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. Odmocnením 1,5 $ môžete prepísať predchádzajúcu rovnicu ako

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Preto je pomer dynamického tlaku rýchlejšej tekutiny

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25 $$

Konečná odpoveď je 2,25 alebo 9/4.

Otázka 15

Pre polynóm $p(x)$ je hodnota $p(3)$ $-2$. Čo z nasledujúceho musí platiť o $p(x)$?

A) $x-5$ je faktor $p(x)$.
B) $x-2$ je faktor $p(x)$.
C) $x+2$ je faktor $p(x)$.
D) Zvyšok, keď $p(x)$ vydelíme $x-3$, je $-2$.

VYSVETLENIE ODPOVEDE: Ak je polynóm $p(x)$ delený polynómom v tvare $x+k$ (čo zodpovedá všetkým možným odpovediam v tejto otázke), výsledok možno zapísať ako

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

kde $q(x)$ je polynóm a $r$ je zvyšok. Keďže $x + k$ je polynóm stupňa 1 (to znamená, že obsahuje iba $x^1$ a žiadne vyššie exponenty), zvyšok je reálne číslo.

Preto $p(x)$ možno prepísať ako $p(x) = (x + k)q(x) + r$, kde $r$ je reálne číslo.

Otázka uvádza, že $p(3) = -2$, takže to musí byť pravda

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Teraz môžeme zapojiť všetky možné odpovede. Ak je odpoveď A, B alebo C, $r$ bude $0$, zatiaľ čo ak je odpoveď D, $r$ bude $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5)) q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To môže byť pravda, ale iba ak $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2)) q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To môže byť pravda, ale iba ak $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2) q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Môže to byť pravda, ale iba ak $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3) q(3) + (-2) $
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Toto bude byť vždy pravdivý bez ohľadu na to, čo je $q(3)$.

Z možností odpovede jediná, ktorá musieť platí pre $p(x)$ je D, že zvyšok, keď je $p(x)$ vydelený $x-3$, je -2.

Konečná odpoveď je D.

body_sleepy

Zaslúžiš si zdriemnuť si po prečítaní týchto otázok.

Čo majú spoločné najťažšie matematické otázky v SAT?

Je dôležité pochopiť, prečo sú tieto ťažké otázky „ťažké“. Vďaka tomu budete môcť porozumieť a vyriešiť podobné otázky, keď ich uvidíte počas testovacieho dňa, a tiež budete mať lepšiu stratégiu na identifikáciu a opravu vašich predchádzajúcich matematických chýb SAT.

V tejto časti sa pozrieme na to, čo majú tieto otázky spoločné, a uvedieme príklady každého typu. Niektoré z dôvodov, prečo sú najťažšie matematické otázky najťažšie matematické otázky, sú tieto:

#1: Otestujte niekoľko matematických pojmov naraz

body_question8-1.webp

Tu sa musíme zaoberať imaginárnymi číslami a zlomkami naraz.

Tajomstvo úspechu: Premýšľajte o tom, akú použiteľnú matematiku by ste mohli použiť na vyriešenie problému, urobte jeden krok za druhým a vyskúšajte každú techniku, kým nenájdete tú, ktorá funguje!

#2: Zahŕňa veľa krokov

Pamätajte si: čím viac krokov musíte urobiť, tým ľahšie sa niekde na trati pokazíte!

body_question9.webp

Tento problém musíme vyriešiť v krokoch (vykonaním niekoľkých priemerov), aby sme odomkli zvyšok odpovedí v dominovom efekte. To môže byť mätúce, najmä ak ste v strese alebo máte málo času.

Tajomstvo úspechu: Pomaly, krok za krokom a dvakrát si skontrolujte svoju prácu, aby ste neurobili chyby!

#3: Otestujte si koncepty, s ktorými ste obmedzene oboznámení

Napríklad mnohí študenti sú menej oboznámení s funkciami ako so zlomkami a percentami, takže väčšina funkčných otázok sa považuje za problémy s „vysokou obtiažnosťou“.

body_question10.webp

Ak sa nevyznáte vo funkciách, bude to zložitý problém.

Tajomstvo úspechu: Prezrite si matematické pojmy, s ktorými nemáte toľko skúseností, ako sú funkcie. Odporúčame vám použiť našich skvelých bezplatných sprievodcov recenziami matematiky SAT.

#4: Sú formulované nezvyčajným alebo spletitým spôsobom

Môže byť ťažké zistiť, čo presne sú niektoré otázky pýtať sa , tým menej prísť na to, ako ich vyriešiť. To platí najmä vtedy, keď sa otázka nachádza na konci sekcie a vám sa kráti čas.

body_questionlast.webp

Pretože táto otázka poskytuje toľko informácií bez diagramu, môže byť ťažké sa v nej v obmedzenom povolenom čase vysporiadať.

Tajomstvo úspechu: Urobte si čas, analyzujte, čo sa od vás žiada, a nakreslite diagram, ak je to pre vás užitočné.

#5: Použite veľa rôznych premenných

body_question12.webp

S toľkými rôznymi premennými v hre je celkom ľahké zmiasť sa.

Tajomstvo úspechu: Urobte si čas, analyzujte, čo sa od vás žiada, a zvážte, či je zapojenie čísel dobrou stratégiou na vyriešenie problému (netýkalo by sa to otázky uvedenej vyššie, ale mnohých iných otázok premenných SAT).

Take-Aways

SAT je maratón a čím lepšie ste naň pripravení, tým lepšie sa budete cítiť počas testovacieho dňa. Vedieť, ako zvládnuť najťažšie otázky, ktoré vám test môže hodiť, spôsobí, že vykonanie skutočného SAT bude oveľa menej skľučujúce.

Ak ste mali pocit, že tieto otázky sú ľahké, určite nepodceňujte vplyv adrenalínu a únavy na vašu schopnosť riešiť problémy. Keď budete pokračovať v štúdiu, vždy dodržiavajte pokyny na správne načasovanie a snažte sa absolvovať úplné testy, kedykoľvek je to možné. Toto je najlepší spôsob, ako znovu vytvoriť skutočné testovacie prostredie, aby ste sa mohli pripraviť na skutočný obchod.

Ak máte pocit, že tieto otázky sú náročné, Uistite sa, že si posilníte svoje matematické znalosti tým, že si pozriete našich individuálnych sprievodcov matematickými témami pre SAT. Tam uvidíte podrobnejšie vysvetlenia daných tém, ako aj podrobnejšie rozpisy odpovedí.

Čo bude ďalej?

Zdá sa vám, že tieto otázky boli ťažšie, ako ste čakali? Pozrite sa na všetky témy zahrnuté v matematickej sekcii SAT a potom si všimnite, ktoré sekcie boli pre vás obzvlášť ťažké. Potom sa pozrite na našich individuálnych matematických sprievodcov, ktorí vám pomôžu podporiť ktorúkoľvek z týchto slabých oblastí.

Dochádza vám čas v matematickej sekcii SAT? Náš sprievodca vám pomôže poraziť čas a maximalizovať vaše skóre.

Snažíte sa o dokonalé skóre? Odhlásiť sa náš návod, ako získať perfektných 800 v sekcii matematiky SAT , ktorú napísal perfektný strelec.

$, zatiaľ čo ak je odpoveď D, $r$ bude $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5)) q(3) + 0 $
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

To môže byť pravda, ale iba ak $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2)) q(3) + 0 $
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

To môže byť pravda, ale iba ak $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2) q(3) + 0 $
$-2 = (5)q(3)$

Môže to byť pravda, ale iba ak $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3) q(3) + (-2) $
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Toto bude byť vždy pravdivý bez ohľadu na to, čo je $q(3)$.

Z možností odpovede jediná, ktorá musieť platí pre $p(x)$ je D, že zvyšok, keď je $p(x)$ vydelený $x-3$, je -2.

Konečná odpoveď je D.

body_sleepy

Zaslúžiš si zdriemnuť si po prečítaní týchto otázok.

Čo majú spoločné najťažšie matematické otázky v SAT?

Je dôležité pochopiť, prečo sú tieto ťažké otázky „ťažké“. Vďaka tomu budete môcť porozumieť a vyriešiť podobné otázky, keď ich uvidíte počas testovacieho dňa, a tiež budete mať lepšiu stratégiu na identifikáciu a opravu vašich predchádzajúcich matematických chýb SAT.

V tejto časti sa pozrieme na to, čo majú tieto otázky spoločné, a uvedieme príklady každého typu. Niektoré z dôvodov, prečo sú najťažšie matematické otázky najťažšie matematické otázky, sú tieto:

#1: Otestujte niekoľko matematických pojmov naraz

body_question8-1.webp

Tu sa musíme zaoberať imaginárnymi číslami a zlomkami naraz.

Tajomstvo úspechu: Premýšľajte o tom, akú použiteľnú matematiku by ste mohli použiť na vyriešenie problému, urobte jeden krok za druhým a vyskúšajte každú techniku, kým nenájdete tú, ktorá funguje!

#2: Zahŕňa veľa krokov

Pamätajte si: čím viac krokov musíte urobiť, tým ľahšie sa niekde na trati pokazíte!

body_question9.webp

Tento problém musíme vyriešiť v krokoch (vykonaním niekoľkých priemerov), aby sme odomkli zvyšok odpovedí v dominovom efekte. To môže byť mätúce, najmä ak ste v strese alebo máte málo času.

Tajomstvo úspechu: Pomaly, krok za krokom a dvakrát si skontrolujte svoju prácu, aby ste neurobili chyby!

#3: Otestujte si koncepty, s ktorými ste obmedzene oboznámení

Napríklad mnohí študenti sú menej oboznámení s funkciami ako so zlomkami a percentami, takže väčšina funkčných otázok sa považuje za problémy s „vysokou obtiažnosťou“.

body_question10.webp

Ak sa nevyznáte vo funkciách, bude to zložitý problém.

Tajomstvo úspechu: Prezrite si matematické pojmy, s ktorými nemáte toľko skúseností, ako sú funkcie. Odporúčame vám použiť našich skvelých bezplatných sprievodcov recenziami matematiky SAT.

#4: Sú formulované nezvyčajným alebo spletitým spôsobom

Môže byť ťažké zistiť, čo presne sú niektoré otázky pýtať sa , tým menej prísť na to, ako ich vyriešiť. To platí najmä vtedy, keď sa otázka nachádza na konci sekcie a vám sa kráti čas.

body_questionlast.webp

Pretože táto otázka poskytuje toľko informácií bez diagramu, môže byť ťažké sa v nej v obmedzenom povolenom čase vysporiadať.

Tajomstvo úspechu: Urobte si čas, analyzujte, čo sa od vás žiada, a nakreslite diagram, ak je to pre vás užitočné.

#5: Použite veľa rôznych premenných

body_question12.webp

S toľkými rôznymi premennými v hre je celkom ľahké zmiasť sa.

Tajomstvo úspechu: Urobte si čas, analyzujte, čo sa od vás žiada, a zvážte, či je zapojenie čísel dobrou stratégiou na vyriešenie problému (netýkalo by sa to otázky uvedenej vyššie, ale mnohých iných otázok premenných SAT).

Take-Aways

SAT je maratón a čím lepšie ste naň pripravení, tým lepšie sa budete cítiť počas testovacieho dňa. Vedieť, ako zvládnuť najťažšie otázky, ktoré vám test môže hodiť, spôsobí, že vykonanie skutočného SAT bude oveľa menej skľučujúce.

Ak ste mali pocit, že tieto otázky sú ľahké, určite nepodceňujte vplyv adrenalínu a únavy na vašu schopnosť riešiť problémy. Keď budete pokračovať v štúdiu, vždy dodržiavajte pokyny na správne načasovanie a snažte sa absolvovať úplné testy, kedykoľvek je to možné. Toto je najlepší spôsob, ako znovu vytvoriť skutočné testovacie prostredie, aby ste sa mohli pripraviť na skutočný obchod.

Ak máte pocit, že tieto otázky sú náročné, Uistite sa, že si posilníte svoje matematické znalosti tým, že si pozriete našich individuálnych sprievodcov matematickými témami pre SAT. Tam uvidíte podrobnejšie vysvetlenia daných tém, ako aj podrobnejšie rozpisy odpovedí.

Čo bude ďalej?

Zdá sa vám, že tieto otázky boli ťažšie, ako ste čakali? Pozrite sa na všetky témy zahrnuté v matematickej sekcii SAT a potom si všimnite, ktoré sekcie boli pre vás obzvlášť ťažké. Potom sa pozrite na našich individuálnych matematických sprievodcov, ktorí vám pomôžu podporiť ktorúkoľvek z týchto slabých oblastí.

Dochádza vám čas v matematickej sekcii SAT? Náš sprievodca vám pomôže poraziť čas a maximalizovať vaše skóre.

Snažíte sa o dokonalé skóre? Odhlásiť sa náš návod, ako získať perfektných 800 v sekcii matematiky SAT , ktorú napísal perfektný strelec.