Akonáhle budete mať kvadratický vzorec a základy kvadratických rovníc vychladnutých, je čas na ďalšiu úroveň vášho vzťahu s parabolami: dozvedieť sa o ich vrcholový tvar .

Čítajte ďalej a dozviete sa viac o tvare vrcholu paraboly a o tom, ako previesť kvadratickú rovnicu zo štandardnej formy na formu vrcholu.

kredit funkcie: SBA73 /Flickr

Prečo je formulár Vertex užitočný? Prehľad

The vrcholový tvar rovnice je alternatívny spôsob zápisu rovnice paraboly.

Za normálnych okolností uvidíte kvadratickú rovnicu napísanú ako $ax^2+bx+c$, ktorá pri grafe bude parabolou. Z tohto formulára je ľahké nájsť korene rovnice (kde parabola zasiahne os $ x $) nastavením rovnice na nulu (alebo pomocou kvadratického vzorca).

Ak však potrebujete nájsť vrchol paraboly, štandardná kvadratická forma je oveľa menej užitočná. Namiesto toho budete chcieť previesť svoju kvadratickú rovnicu na vrcholový tvar.

Čo je to Vertex Form?

Zatiaľ čo štandardná kvadratická forma je $ax^2+bx+c=y$, vrcholový tvar kvadratickej rovnice je $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

V oboch formách je $y$ súradnica $y$, $x$ je súradnica $x$ a $a$ je konštanta, ktorá vám povie, či parabola smeruje nahor ($+a$) alebo nadol. ($-a$). (Premýšľam o tom, ako keby parabola bola miska s jablkovou omáčkou; ak je tam $+a$, môžem do misky pridať jablkovú šťavu; ak je tam $-a$, môžem jablkovú šťavu z misky vytriasť.)

Rozdiel medzi štandardným tvarom paraboly a vrcholovým tvarom je v tom, že vrcholový tvar rovnice vám tiež dáva vrchol paraboly: $(h,k)$.

Pozrite sa napríklad na túto jemnú parabolu, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Na základe grafu sa zdá, že vrchol paraboly je niečo ako (-1,5,-2), ale len z grafu je ťažké presne povedať, kde je vrchol. Našťastie na základe rovnice $y=3(x+4/3)^2-2$ vieme, že vrchol tejto paraboly je $(-4/3,-2)$.

Prečo je vrchol $(-4/3,-2)$ a nie $(4/3,-2)$ (okrem grafu, z ktorého sú jasné súradnice $x$- aj $y$- vrcholy sú záporné)?

Pamätajte: vo vrcholovej rovnici sa $h$ odčíta a $k$ pripočíta . Ak máte zápornú hodnotu $h$ alebo zápornú hodnotu $k$, musíte sa uistiť, že odčítate zápornú hodnotu $h$ a pripočítate zápornú hodnotu $k$.

V tomto prípade to znamená:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

a teda vrchol je $(-4/3,-2)$.

Pri písaní paraboly vo vrcholovej forme by ste mali vždy dvakrát skontrolovať svoje kladné a záporné znamienka , najmä ak vrchol nemá kladné hodnoty $x$ a $y$ (alebo pre vás kvadrantové hlavy tam vonku, ak nie je v kvadrant I ). Je to podobné ako pri kontrole, ktorú by ste urobili, ak by ste riešili kvadratický vzorec ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) a potrebovali by ste sa uistiť, že si udržíte kladné a negatívy priamo pre vaše $a$s, $b$s a $c$s.

Nižšie je tabuľka s ďalšími príkladmi niekoľkých ďalších rovníc tvaru vrcholov paraboly spolu s ich vrcholmi. Všimnite si najmä rozdiel v časti $(x-h)^2$ rovnice tvaru vrcholu paraboly, keď súradnica $x$ vrcholu je záporná.

Ako previesť zo štandardného kvadratického formulára na vertexový formulár

Väčšinu času, keď ste požiadaní o prevod kvadratických rovníc medzi rôznymi formami, budete prechádzať zo štandardného tvaru ($ax^2+bx+c$) do vertexového tvaru ($a(x-h)^2+k$ ).

Proces prevodu rovnice zo štandardnej kvadratickej do vrcholovej formy zahŕňa vykonanie súboru krokov nazývaných dokončenie štvorca. (Pre viac informácií o dokončení štvorca si určite prečítajte tento článok.)

Prejdime si príkladom prevodu rovnice zo štandardného tvaru na vrcholový tvar. Začneme rovnicou $y=7x^2+42x-3/14$.

Prvá vec, ktorú budete chcieť urobiť, je presunúť konštantu alebo výraz bez $x$ alebo $x^2$ vedľa nej. V tomto prípade je naša konštanta $-3/14$. (Vieme, že je negatívne $3/14$, pretože štandardná kvadratická rovnica je $ax^2+bx+c$, nie $ax^2+bx-c$.)

Najprv vezmeme tých $-3/14$ a presunieme ich na ľavú stranu rovnice:

$y+3/14=7x^2+42x$

Ďalším krokom je vylúčenie 7 (hodnota $a$ v rovnici) z pravej strany, takto:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Skvelé! Táto rovnica vyzerá oveľa viac ako vrcholový tvar, $y=a(x-h)^2+k$.

V tomto bode si možno pomyslíte: 'Všetko, čo teraz musím urobiť, je presunúť 3/14 $ späť na pravú stranu rovnice, však?' Bohužiaľ, nie tak rýchlo.

Ak sa pozriete na časť rovnice v zátvorkách, všimnete si problém: nie je v tvare $(x-h)^2$. Je tu príliš veľa $x$s! Takže ešte nie sme úplne hotoví.

To, čo teraz musíme urobiť, je najťažšia časť – dokončiť námestie.

Pozrime sa bližšie na $x^2+6x$ časť rovnice. Aby sme mohli premeniť $(x^2+6x)$ na niečo, čo sa podobá $(x-h)^2$, budeme musieť pridať konštantu do zátvoriek – a budeme si musieť zapamätať pridať túto konštantu aj na druhú stranu rovnice (keďže rovnica musí zostať vyvážená).

Aby sme to nastavili (a uistite sa, že nezabudneme pridať konštantu na druhú stranu rovnice), vytvoríme prázdne miesto, kde bude konštanta na oboch stranách rovnice:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Všimnite si, že na ľavej strane rovnice sme sa uistili, že sme zahrnuli našu hodnotu $a$, 7, pred priestor, kam pôjde naša konštanta; je to preto, že nepridávame len konštantu na pravú stranu rovnice, ale násobíme konštantu čímkoľvek, čo je na vonkajšej strane zátvoriek. (Ak je vaša hodnota $a$ 1, nemusíte sa o to starať.)

Ďalším krokom je dokončenie námestia. V tomto prípade je štvorec, ktorý dokončujete, rovnica v zátvorkách – pridaním konštanty ju zmeníte na rovnicu, ktorú možno zapísať ako štvorec.

Ak chcete vypočítať túto novú konštantu, zoberte hodnotu vedľa $x$ (v tomto prípade 6), vydeľte ju 2 a odmocnite ju.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konštanta je 9.

Dôvod, prečo delíme 6 na polovicu a odmocnime je, že vieme, že v rovnici v tvare $(x+p)(x+p)$ (k čomu sa snažíme dostať), $px+px= 6x$, teda $p=6/2$; aby sme dostali konštantu $p^2$, musíme teda vziať $6/2$ (naše $p$) a odmocniť ju.

Teraz nahraďte prázdne miesto na oboch stranách našej rovnice konštantou 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Ďalej vynásobte rovnicu v zátvorkách. Pretože sme dokončili štvorec, budete ho môcť rozdeliť ako $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Posledný krok: presuňte hodnotu, ktorá nie je $y$, z ľavej strany rovnice späť na pravú stranu:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Gratulujem! Úspešne ste previedli svoju rovnicu zo štandardnej kvadratickej do vrcholovej formy.

Teraz vás väčšina problémov nebude vyžadovať len konverziu vašich rovníc zo štandardného tvaru na vrcholový tvar; budú chcieť, aby ste skutočne uviedli súradnice vrcholu paraboly.

Aby sme sa nenechali oklamať zmenami znamienka, napíšme všeobecnú rovnicu tvaru vrcholu priamo nad rovnicu tvaru vrcholu, ktorú sme práve vypočítali:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

A potom môžeme ľahko nájsť $h$ a $k$:

$-h=3$

$ h = -3 $

$+k=-{885/14}$

Vrchol tejto paraboly je na súradniciach $(-3,-{885/14})$.

Fíha, to bolo veľa prehadzovania čísel! Našťastie je prevod rovníc v opačnom smere (z vrcholu do štandardného tvaru) oveľa jednoduchší.

Ako previesť z formulára Vertex na štandardný formulár

Prevod rovníc z ich vrcholového tvaru do bežného kvadratického tvaru je oveľa priamočiarejší proces: všetko, čo musíte urobiť, je vynásobiť vrcholový tvar.

Zoberme si našu príkladnú rovnicu z predchádzajúceho, $y=3(x+4/3)^2-2$. Aby sme to zmenili na štandardnú formu, rozšírime pravú stranu rovnice:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$ y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Úspešne ste skonvertovali $y=3(x+4/3)^2-2$ do podoby $ax^2+bx+c$.

Cvičenie formulára Parabola Vertex: Vzorové otázky

Na záver tohto skúmania formy vrcholu máme štyri príklady problémov a vysvetlení. Skôr ako si prečítate vysvetlenia, zistite, či dokážete vyriešiť problémy sami!

#1: Aký je vrcholový tvar kvadratickej rovnice $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Preveďte rovnicu $7y=91x^2-112$ do vrcholového tvaru. Čo je vrchol?

#3: Vzhľadom na rovnicu $y=2(x-3/2)^2-9$, aké sú súradnice $x$ miesta, kde sa táto rovnica pretína s osou $x$?

#4: Nájdite vrchol paraboly $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Practice: Riešenia

#1: Aký je vrcholový tvar kvadratickej rovnice ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Začnite oddelením premennej, ktorá nie je $ x $, na druhú stranu rovnice:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Keďže naše $a$ (ako v $ax^2+bx+c$) v pôvodnej rovnici sa rovná 1, nemusíme to tu vylučovať z pravej strany (aj keď ak chcete, môžete napísať $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Ďalej vydeľte koeficient $x$ (2,6) 2 a odmocnite ho, potom pridajte výsledné číslo na obe strany rovnice:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Zvážte pravú stranu rovnice do zátvoriek:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Nakoniec skombinujte konštanty na ľavej strane rovnice a potom ich presuňte na pravú stranu.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Naša odpoveď je $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Preveďte rovnicu $7i y=91i x^2-112$ do vrcholového tvaru. Čo je vrchol?

Pri prevode rovnice do vrcholového tvaru chcete, aby $y$ malo koeficient 1, takže prvá vec, ktorú urobíme, je vydeliť obe strany tejto rovnice 7:

7 $ r = 91 x ^ 2 – 112 $

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Potom preneste konštantu na ľavú stranu rovnice:

$y+16=13x^2$

Vypočítajte koeficient čísla $x^2$ ($a$) z pravej strany rovnice

$y+16=13(x^2)$

Teraz by ste normálne museli doplniť štvorec na pravej strane rovnice v zátvorkách. $x^2$ je však už štvorec, takže nemusíte robiť nič okrem presunu konštanty z ľavej strany rovnice späť na pravú stranu:

$y=13(x^2)-16$.

Teraz nájdite vrchol:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, teda $h=0$

$+k=-16$, teda $k=-16$

Vrchol paraboly je $(0, -16)$.

#3: Vzhľadom na rovnicu $i y=2(i x-3/2)^2-9$, čo je (sú) $i x$-súradnica(y) miesta, kde sa táto rovnica pretína s $i x$-os?

Pretože otázka vás žiada, aby ste našli $x$-priesečník(y) rovnice, prvým krokom je nastavenie $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Teraz existuje niekoľko spôsobov, ako sa odtiaľto dostať. Záludným spôsobom je využiť skutočnosť, že do rovnice tvaru vrcholu je už zapísaný štvorec v náš prospech.

Najprv presunieme konštantu na ľavú stranu rovnice:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Ďalej vydelíme obe strany rovnice 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Teraz tá záludná časť. Vezmite druhú odmocninu oboch strán rovnice:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±