logo

TechCodeview

Vzorec jednotnej distribúcie

Rovnomerné rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré predstavuje rovnako pravdepodobné výsledky, t. j. pravdepodobnosť výskytu každého výsledku je rovnaká. Existujú dva typy rovnomerného rozdelenia: Diskrétne rovnomerné rozdelenie a spojité rovnomerné rozdelenie (najbežnejší typ v elementárnej štatistike). Definuje funkciu hustoty náhodnej premennej, strednej hodnoty a rozptylu.

V tomto článku sa dozvieme o rovnomernom rozdelení, typoch rovnomerného rozdelenia a vzorcoch rovnomerného rozdelenia spolu s niektorými vyriešenými príkladmi, ktoré sú na ňom založené.




Obsah

Rovnomerné rozdelenie

Rovnomerné rozdelenie je rozdelenie, ktoré má konštantnú pravdepodobnosť v dôsledku rovnako pravdepodobných udalostí. Je tiež známy ako pravouhlé rozdelenie (nepretržité rovnomerné rozloženie). Má dva parametre a a b: a = minimum a b = maximum. Rozdelenie sa zapíše ako U (a, b).



Definícia jednotnej distribúcie

Rovnomerné rozdelenie je typ rozdelenia pravdepodobnosti, kde každý možný výsledok má rovnakú pravdepodobnosť výskytu. To znamená, že všetky hodnoty v rámci daného rozsahu budú rovnako pravdepodobne pozorované.

Graf rovnomerného rozdelenia

Výpočet výšky obdĺžnika:

sú modelové príklady

Maximálna pravdepodobnosť premennej X je 1, takže celková plocha obdĺžnika musí byť 1.



Plocha obdĺžnika = základňa × výška = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = výška obdĺžnika

Graf kumulatívnej distribučnej funkcie

Graf kumulatívnej distribučnej funkcie

Poznámka: Diskrétna rovnomerná distribúcia: Px = 1/n. Kde, PX= Pravdepodobnosť diskrétnej premennej, n = Počet hodnôt v rozsahu

Vzorec jednotnej distribúcie

O náhodnej premennej X sa hovorí, že je rovnomerne rozložená v intervale -∞

Funkcia hustoty pravdepodobnosti (pdf)f(x) = 1/( b – a), a ≤ x ≤ b
priemer (μ)

int_{a}^{b} x.f(x) ,dx =frac{1}{b-a}[frac{x^2}{2}]_a^b

= (a + b)/2

Rozptyl (σ2)

int_{a}^{b} x.f(x) ,dx =frac{1}{b-a}[frac{x^2}{2}]_a^b

= m2' - m2=int_{a}^{b}x^2.frac{1}{b-a}dx hspace{0.1cm}-(frac{a+b}{2})^2

= (b – a)2/12

smerodajná odchýlka (σ)

= sqrt {frac{(b – a)^2}{12}}

Funkcia kumulatívnej distribúcie (cdf)= (x – a)/(b – a) pre x ∈ [a , b]
Medián= (a + b)/2
Pre podmienenú pravdepodobnosť = P( c

= (d – c) × f(x)

= (d – c)/(b – a)

Typy rovnomernej distribúcie

Typy rovnomernej distribúcie sú:

  1. Nepretržitá rovnomerná distribúcia: Nepretržité rovnomerné rozdelenie pravdepodobnosti je rozdelenie, ktoré má nekonečný počet hodnôt definovaných v určenom rozsahu. Má obdĺžnikový graf, takzvané pravouhlé rozdelenie. Pracuje na hodnotách, ktoré majú nepretržitý charakter. Príklad: Generátor náhodných čísel
  2. Diskrétna jednotná distribúcia: Diskrétne rovnomerné rozdelenie pravdepodobnosti je rozdelenie, ktoré má konečný počet hodnôt definovaných v určenom rozsahu. Jeho graf obsahuje rôzne zvislé čiary pre každú konečnú hodnotu. Funguje na hodnotách, ktoré sú svojou povahou diskrétne. Príklad: Hodí sa kockou.

Poďme diskutovať o týchto typoch podrobne nasledovne.

Nepretržité rovnomerné rozdelenie alebo obdĺžnikové rozdelenie

Spojité rovnomerné rozdelenia, známe tiež ako obdĺžnikové rozdelenia, sú rozdelenia pravdepodobnosti, kde funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) je v určitom intervale konštantná a inde je nulová. To znamená, že všetky výsledky v rámci intervalu sú rovnako pravdepodobné.

Nepretržité rovnomerné rozdelenia poskytujú jednoduchý, ale výkonný rámec na pochopenie a modelovanie náhodnosti v rámci definovaných intervalov, čo z nich robí základné nástroje v teórii pravdepodobnosti a aplikovanej štatistike.

Funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF)

The funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) spojitého rovnomerného rozdelenia definuje pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do určitého intervalu. Pre súvislé rovnomerné rozdelenie v intervale [a, b] je PDF dané:

f(x) = 1 / (b – a) pre a ≤ x ≤ b

a f(x) = 0 inak.

Kumulatívna distribučná funkcia (CDF)

Kumulatívna distribučná funkcia (CDF) spojitého rovnomerného rozdelenia dáva pravdepodobnosť, že náhodná premenná je menšia alebo rovná určitej hodnote. Pre kontinuálne rovnomerné rozloženie cez [a, b] je CDF definované ako:

F(x) = (x – a) / (b – a) pre a ≤ x ≤ b

a F(x) = 0 pre x b.

Generovanie funkcií

Funkcie generovania poskytujú spôsob, ako reprezentovať postupnosti čísel ako mocninné rady. V teórii pravdepodobnosti sa generujúce funkcie často používajú na manipuláciu so sekvenciami náhodných premenných. Môžu zjednodušiť výpočty a pomôcť odvodiť dôležité vlastnosti náhodných premenných a rozdelenia.

Štandardná jednotná distribúcia

Štandardné rovnomerné rozdelenie je špeciálny prípad spojitého rovnomerného rozdelenia, kde je interval [0, 1]. Je široko používaný v simuláciách, generovaní náhodných čísel a rôznych štatistických aplikáciách.

Vlastnosti spojitých rovnomerných rozdelení

  • Rovnaká hustota pravdepodobnosti v rámci intervalu.
  • Kumulatívna distribučná funkcia rastie lineárne v rámci intervalu.
  • Stredná hodnota spojitého rovnomerného rozdelenia je stredom intervalu.
  • Rozptyl spojitého rovnomerného rozdelenia je [(b – a)2] / 12.

Aplikácie spojitých rovnomerných distribúcií

  • Modelovanie neistoty v rôznych oblastiach, ako je strojárstvo, financie a fyzika.
  • Generovanie náhodných čísel pre simulácie a hry.
  • Používa sa pri štatistickej kontrole kvality na modelovanie jednotnosti vo výrobných procesoch.
  • V kryptografii na generovanie kľúčov a vytváranie náhodných permutácií.
  • Ako základná distribúcia na porovnanie s inými distribúciami v štatistickej analýze.

Diskrétna jednotná distribúcia

Diskrétne rovnomerné rozdelenie je a pravdepodobnosť rozdelenie, ktoré popisuje pravdepodobnosť výsledkov, keď je každý výsledok v konečnej množine rovnako pravdepodobný. Je charakterizovaná funkciou konštantnej pravdepodobnosti hmotnosti (PMF) v konečnom rozsahu hodnôt.

Diskrétna rovnomerná distribúcia slúži ako základný model v teórii pravdepodobnosti a štatistike a poskytuje jednoduchý, ale účinný spôsob, ako opísať neistotu v situáciách, keď sú výsledky rovnako pravdepodobné. Jeho vlastnosti a aplikácie siahajú naprieč rôznymi disciplínami, čo z neho robí všestranný nástroj pri analýze údajov a rozhodovacích procesoch.

Odhad maxima

In štatistiky , odhad maxima sa týka metód používaných na odhad najväčšej hodnoty alebo maximálneho pozorovania v súbore údajov. Na tento účel sa bežne používajú techniky ako štatistika objednávok a odhad maximálnej pravdepodobnosti.

Náhodná permutácia

Náhodná permutácia je náhodné usporiadanie množiny položiek alebo prvkov. Často sa používa v rôznych oblastiach, ako je kryptografia, štatistika a informatika. Generovanie náhodných permutácií je nevyhnutné v algoritmoch, simuláciách a experimentálnych návrhoch.

globálne premenné javascriptu

Vlastnosti diskrétnej rovnomernej distribúcie

  • Každý výsledok v priestore vzorky má rovnakú pravdepodobnosť výskytu.
  • Funkcia hmotnosti pravdepodobnosti (PMF) je konštantná v rámci rozsahu možných výsledkov.
  • Stredná hodnota diskrétneho rovnomerného rozdelenia je priemerom minimálnych a maximálnych hodnôt.
  • Rozptyl diskrétneho rovnomerného rozdelenia je [(n^2 – 1) / 12], kde n je počet možných výsledkov.

Aplikácie diskrétnej rovnomernej distribúcie

  • Hádzanie spravodlivých kociek alebo hádzanie spravodlivých mincí, pričom každý výsledok má rovnakú pravdepodobnosť.
  • Modelovanie scenárov, v ktorých neexistuje preferencia alebo zaujatosť voči akémukoľvek konkrétnemu výsledku.
  • Odber vzoriek bez náhrady, ako je výber náhodných vzoriek z konečnej populácie.
  • Generovanie náhodných čísel pre simulácie, metódy Monte Carlo a randomizované algoritmy.
  • Vytváranie náhodných permutácií na miešanie balíčkov kariet, navrhovanie experimentov a kryptografických aplikácií.

Čítaj viac,

  • Poissonova distribúcia
  • Binomické rozdelenie
  • Normálna distribúcia

Vzorové otázky

Otázka 1: Náhodná premenná X má rovnomerné rozdelenie na (-2, 2),

(i) nájdite k, pre ktoré P(X>k) = 1/2 (ii) Vyhodnoťte P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Riešenie:

(i) X = f(x) = 1/(b-a) = 1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Riešením dostaneme k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Otázka 2: Ak je X rovnomerne rozložené v (-1 , 4), potom

(i) jeho priemer je _______________.

(ii) jeho rozptyl je ______________.

iii) jeho štandardná odchýlka je ___________.

(iv) jeho medián je ______________.

Riešenie:

Tu a = -1 a b = 4

(i) Priemer (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Rozptyl (σ2) = (4+1)2/12 = 2,08

(iii) Smerodajná odchýlka (σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Medián = (4-1)/2 = 1,5

Otázka 3: Ak je v tradičnom balíčku kariet 52 kariet so štyrmi farbami: srdce, pika, palice a diamanty. Každá sada obsahuje 13 kariet, z ktorých 3 sú tvárové. Nový balíček je tvorený vylúčením počtu kariet. Aká je potom pravdepodobnosť získania srdcovej karty z upraveného balíčka?

Riešenie:

V otázke je daný počet kariet konečný, takže ide o diskrétne rovnomerné rozdelenie.

Vzorec pre pravdepodobnosť v diskrétnom rovnomernom rozdelení je P(X) = 1/n

Pravdepodobnosť získania srdca v upravenom balíčku = 1/4 = 0,25

Otázka 4: Pomocou funkcie hustoty pravdepodobnosti rovnomerného rozdelenia pre náhodnú premennú X v (0, 20) nájdite P(3

Riešenie:

Tu a = 0, b = 20

f(x) = 1/(20 – 0) = 1/20

P(3

Otázka 5: Náhodná premenná X má rovnomerné rozdelenie na (-5 , 6), nájdite kumulatívnu distribučnú funkciu pre x = 3.

java reťazec na celé číslo

Riešenie:

Tu a = -5, b = 6, x = 3

CDF = (3 – (-5))/(6 – (-5)) = 8/11

Vzorec jednotnej distribúcie – často kladené otázky

Čo je rovnomerné rozdelenie?

Rovnomerné rozdelenie sa týka typu rozdelenia pravdepodobnosti, kde každý možný výsledok má rovnakú pravdepodobnosť výskytu. Inými slovami, hodnoty v rámci daného rozsahu budú rovnako pravdepodobne pozorované. Rovnomerná distribúcia môže byť spojitá alebo diskrétna.

Čo je kontinuálna rovnomerná distribúcia?

Nepretržité rovnomerné rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré priraďuje rovnakú hustotu pravdepodobnosti všetkým výsledkom v rámci špecifikovaného intervalu. To znamená, že akákoľvek hodnota v rámci intervalu má rovnakú šancu na výskyt. Funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) zostáva konštantná počas celého intervalu a mimo intervalu je nulová. Príklady zahŕňajú štandardnú rovnomernú distribúciu v intervale [0, 1] a variácie tejto distribúcie v iných intervaloch.

Čo je diskrétna rovnomerná distribúcia?

Diskrétne rovnomerné rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, kde existuje konečný počet výsledkov a každý výsledok má rovnakú pravdepodobnosť výskytu. V podstate ide o diskrétnu verziu kontinuálnej rovnomernej distribúcie. Príklady zahŕňajú hod kockou, kde má každá tvár rovnakú pravdepodobnosť 1/6, alebo ťahanie karty zo štandardného balíčka, kde má každá karta pravdepodobnosť 1/52, ak je vytiahnutá náhodne a bez výmeny.

Ako vypočítate priemer rovnomerného rozdelenia?

Stredná alebo očakávaná hodnota spojitého rovnomerného rozdelenia je 2 m =2 a + b .

Ako môžete identifikovať jednotné rozdelenie z grafu?

Graf rovnomerného rozdelenia je plochý, čo naznačuje, že každý výsledok v rámci špecifikovaného rozsahu má rovnakú pravdepodobnosť výskytu.

Aké sú niektoré príklady jednotnej distribúcie?

Príklady zahŕňajú hod kockou, kde je každý výsledok rovnako pravdepodobný, alebo náhodný výber bodu na úseku cesty.

Môže byť rovnomerné rozloženie skreslené?

Nie, podľa definície nie sú rovnomerné rozdelenia skreslené, pretože každý výsledok v rámci rozsahu má rovnakú pravdepodobnosť.

Ako sa používa jednotná distribúcia v reálnom živote?

Používa sa v simuláciách, na vytváranie náhodných čísel v počítačových programoch a v procesoch kontroly kvality.

Aký je rozdiel medzi diskrétnym a spojitým rovnomerným rozdelením?

Diskrétne rovnomerné distribúcie sa vzťahujú na scenáre s konečným súborom výsledkov, zatiaľ čo kontinuálne rovnomerné distribúcie sa vzťahujú na scenáre, kde je akákoľvek hodnota v rámci súvislého rozsahu rovnako pravdepodobná.