logo

TechCodeview

Základné čísla

Čo sú prvočísla?

A prvočíslo je definované ako prirodzené číslo väčšie ako 1 a je deliteľné iba 1 a sebou samým.

Inými slovami, prvočíslo je kladné celé číslo väčšie ako 1, ktoré má práve dva faktory, 1 a samotné číslo. Prvých niekoľko prvočísel je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .



Poznámka: 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené. Zostávajúce čísla, okrem 1, sú klasifikované ako prvočísla a zložené čísla.

základné čísla

Niekoľko zaujímavých faktov o prvočíslach:

  • Okrem 2, ktorá je najmenšia prvočíslo a jediné párne prvočíslo, všetky prvočísla sú nepárne.
  • Každé prvočíslo môže byť reprezentované vo forme 6n + 1 alebo 6n – 1 okrem prvočísel 2 a 3 , kde n je ľubovoľné prirodzené číslo.
  • 2 a 3 sú len dve po sebe idúce prirodzené čísla, ktoré sú prvočísla.
  • Goldbachova domnienka: Každé párne celé číslo väčšie ako 2 možno vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel.
  • Wilsonova veta : Wilsonova veta hovorí, že prirodzené číslo p> 1 je prvočíslo vtedy a len vtedy

(p – 1) ! ≡ -1 proti p
ALEBO,
(p – 1) ! ≡ (p-1) mod p



an-1≡ 1 (mod n)
ALEBO,
an-1% n = 1

  • Veta o prvom čísle : Pravdepodobnosť, že dané, náhodne zvolené číslo n je prvočíslo, je nepriamo úmerná jeho počtu číslic alebo logaritmu n.
  • Lemoineova domnienka : Akékoľvek nepárne celé číslo väčšie ako 5 môže byť vyjadrené ako súčet nepárnych prvočísel (všetky prvočísla okrem 2 sú nepárne) a párneho poloprvého čísla. Poloprvočíslo je súčinom dvoch prvočísel. Toto sa nazýva Lemoineova domnienka.

Vlastnosti prvočísel:

  • Každé číslo väčšie ako 1 možno vydeliť aspoň jedným prvočíslom.
  • Každé párne kladné celé číslo väčšie ako 2 možno vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel.
  • Okrem 2 sú všetky ostatné prvočísla nepárne. Inými slovami, môžeme povedať, že 2 je jediné párne prvočíslo.
  • Dve prvočísla sú vždy rovnaké.
  • Každé zložené číslo môže byť započítané do prvočíselných faktorov a každý z nich je svojou povahou jedinečný.

Prvočísla a vedľajšie prvočísla:

Je dôležité rozlišovať medzi základné čísla a vedľajšie prvočísla . Nižšie sú uvedené rozdiely medzi prvočíslami a vedľajšími prvočíslami.

  • Prvočísla sa vždy považujú za pár, zatiaľ čo prvočíslo je jedno číslo.
  • Ko-prvočísla sú čísla, ktoré nemajú žiadny spoločný činiteľ okrem 1. Naproti tomu prvočísla takúto podmienku nemajú.
  • Ko-prvočíslo môže byť prvočíslo alebo zložené, ale jeho najväčší spoločný faktor (GCF) musí byť vždy 1. Na rozdiel od zložených čísel majú prvočísla iba dva faktory, 1 a samotné číslo.
  • Príklad co-prime: 13 a 15 sú spoluhlavní. Faktory 13 sú 1 a 13 a faktory 15 sú 1, 3 a 5. Vidíme, že majú len 1 ako spoločný faktor, preto sú to prvočísla.
  • Príklad prvočísla: Niekoľko príkladov prvočísel je 2, 3, 5, 7 a 11 atď.

Ako skontrolovať, či je číslo prvočíslo alebo nie?

Naivný prístup: Naivný prístup je k



Opakujte od 2 do (n-1) a skontrolujte, či sa nejaké číslo v tomto rozsahu delí n . Ak sa číslo delí n , potom to nie je prvočíslo.

Časová zložitosť: O(N)
Pomocný priestor: O(1)

Naivný prístup (rekurzívny): Rekurzia sa môže použiť aj na kontrolu, či je číslo medzi 2 na n – 1 delí n. Ak nájdeme akékoľvek číslo, ktoré sa delí, vrátime false.

Nižšie je uvedená implementácia vyššie uvedenej myšlienky:

C++




// C++ program to check whether a number> // is prime or not using recursion> #include> using> namespace> std;> > // function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >static> int> i = 2;> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> }> > // Driver Code> int> main()> {> > >isPrime(35) ? cout <<>' true '> : cout <<>' false '>;> >return> 0;> }> > // This code is contributed by yashbeersingh42> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> // is prime or not using recursion> import> java.io.*;> > class> GFG {> > >static> int> i =>2>;> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Corner cases> >if> (n ==>0> || n ==>1>) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// Base cases> >if> (n % i ==>0>) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>35>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyeshrabadiya07> 

>

>

Python3




# Python3 program to check whether a number> # is prime or not using recursion> > # Function check whether a number> # is prime or not> > > def> isPrime(n, i):> > ># Corner cases> >if> (n>=>=> 0> or> n>=>=> 1>):> >return> False> > ># Checking Prime> >if> (n>=>=> i):> >return> True> > ># Base cases> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >i>+>=> 1> > >return> isPrime(n, i)> > > # Driver Code> if> (isPrime(>35>,>2>)):> >print>(>'true'>)> else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by bunnyram19> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> // is prime or not using recursion> using> System;> class> GFG {> > >static> int> i = 2;> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)> >return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(35)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by divyesh072019> 

>

>

Javascript




> >// JavaScript program to check whether a number> >// is prime or not using recursion> > >// function check whether a number> >// is prime or not> >var> i = 2;> > >function> isPrime(n) {> > >// corner cases> >if> (n == 0 || n == 1) {> >return> false>;> >}> > >// Checking Prime> >if> (n == i)>return> true>;> > >// base cases> >if> (n % i == 0) {> >return> false>;> >}> >i++;> >return> isPrime(n);> >}> > >// Driver Code> > >isPrime(35) ? document.write(>' true '>) : document.write(>' false '>);> > >// This code is contributed by rdtank.> >>

js settimeout 

>

>

Výkon 

 false>

Časová zložitosť: O(N)
Pomocný priestor: O(N), ak vezmeme do úvahy zásobník rekurzie. V opačnom prípade je to O(1).

Efektívny prístup: Efektívnym riešením je:

Iterujte cez všetky čísla od 2 na druhú odmocninu z n a pre každé číslo skontrolujte, či delí n [pretože ak je číslo vyjadrené ako n = xy a ktorékoľvek z x alebo y je väčšie ako odmocnina z n, druhé musí byť menšie ako odmocnina]. Ak nájdeme akékoľvek číslo, ktoré sa delí, vrátime false.

Nižšie je uvedená implementácia:

C++14




// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to square root of n> >for> (>int> i = 2; i <=>sqrt>(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> }> > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> 

>

>

Java




// A school method based Java program to> // check if a number is prime> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Check for number prime or not> >static> boolean> isPrime(>int> n)> >{> > >// Check if number is less than> >// equal to 1> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if number is 2> >else> if> (n ==>2>)> >return> true>;> > >// Check if n is a multiple of 2> >else> if> (n %>2> ==>0>)> >return> false>;> > >// If not, then just check the odds> >for> (>int> i =>3>; i <= Math.sqrt(n); i +=>2>) {> >if> (n % i ==>0>)> >return> false>;> >}> >return> true>;> >}> > >// Driver code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>19>))> >System.out.println(>'true'>);> > >else> >System.out.println(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Ronak Bhensdadia> 

>

>

Python3




# A school method based Python3 program> # to check if a number is prime> > > # import sqrt from math module> from> math>import> sqrt> > > > # Function check whether a number> # is prime or not> def> isPrime(n):> > ># Corner case> >if> (n <>=> 1>):> >return> False> > ># Check from 2 to sqrt(n)> >for> i>in> range>(>2>,>int>(sqrt(n))>+>1>):> >if> (n>%> i>=>=> 0>):> >return> False> > >return> True> > > # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >if> isPrime(>11>):> >print>(>'true'>)> >else>:> >print>(>'false'>)> > # This code is contributed by Sachin Bisht> 

>

>

C#




// A school method based C# program to> // check if a number is prime> using> System;> > class> GFG {> > >// Function check whether a> >// number is prime or not> >static> bool> isPrime(>int> n)> >{> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to sqrt(n)> >for> (>int> i = 2; i <= Math.Sqrt(n); i++)> >if> (n % i == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> >}> > >// Driver Code> >static> void> Main()> >{> >if> (isPrime(11))> >Console.Write(>'true'>);> > >else> >Console.Write(>'false'>);> >}> }> > // This code is contributed by Sam007> 

>

>

Javascript

čo je oracle




// A school method based Javascript program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> {> >// Corner case> >if> (n <= 1)> >return> false>;> > >// Check from 2 to n-1> >for> (let i = 2; i if (n % i == 0) return false; return true; } // Driver Code isPrime(11) ? console.log(' true') : console.log(' false'); // This code is contributed by Mayank Tyagi> 

>

>

PHP




// A school method based PHP program to // check if a number is prime // Function check whether a number // is prime or not function isPrime($n) { // Corner case if ($n <= 1) return false; // Check from 2 to n-1 for ($i = 2; $i <$n; $i++) if ($n % $i == 0) return false; return true; } // Driver Code if(isPrime(11)) echo('true'); else echo('false'); // This code is contributed by Ajit. ?>> 

>

>

Výkon 

true>

Časová zložitosť: O(sqrt(n))
Pomocný priestor: O(1)

Ďalší efektívny prístup: Ak chcete skontrolovať, či je číslo prvočíslo alebo nie, postupujte podľa nižšie uvedeného nápadu:

Budeme sa zaoberať niekoľkými číslami, ako sú 1, 2, 3 a číslami, ktoré sú deliteľné 2 a 3 v samostatných prípadoch a pre ostatné čísla. Iterujte od 5 do sqrt(n) a skontrolujte pre každú iteráciu, či (táto hodnota) alebo (táto hodnota + 2) delí n alebo nie, a zvýšte hodnotu o 6 [pretože každé prvočíslo môže byť vyjadrené ako 6n+1 alebo 6n-1 ]. Ak nájdeme akékoľvek číslo, ktoré sa delí, vrátime false.

Nižšie je uvedená implementácia vyššie uvedeného nápadu:

C++


program dedičnosti v pythone



// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(>int> n)> > > // Driver Code> int> main()> {> >isPrime(11) ? cout <<>'true '> : cout <<>'false '>;> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi kumari> 

>

>

C




// A school method based C program to> // check if a number is prime> #include> #include> > // Function check whether a number> // is prime or not> int> isPrime(>int> n)> n % 3 == 0)> >return> 0;> >// Check from 5 to square root of n> >// Iterate i by (i+6)> >for> (>int> i = 5; i * i <= n; i = i + 6)> >if> (n % i == 0> > // Driver Code> int> main()> {> >if> (isPrime(11) == 1)> >printf>(>'true '>);> >else> >printf>(>'false '>);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi Kumari> 

>

>

Java




// Java program to check whether a number> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> boolean> isPrime(>int> n)> >> >if> (n <=>1>)> >return> false>;> > >// Check if n=2 or n=3> >if> (n ==>2> > > >// Driver Code> >public> static> void> main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(>11>)) {> >System.out.println(>'true'>);> >}> >else> {> >System.out.println(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Sayan Chatterjee> 

>

>

Python3




import> math> > def> is_prime(n:>int>)>->>>bool>:> > ># Check if n=1 or n=0> >if> n <>=> 1>:> >return> 'false'> > ># Check if n=2 or n=3> >if> n>=>=> 2> or> n>=>=> 3>:> >return> 'true'> > ># Check whether n is divisible by 2 or 3> >if> n>%> 2> =>=> 0> or> n>%> 3> =>=> 0>:> >return> 'false'> > ># Check from 5 to square root of n> ># Iterate i by (i+6)> >for> i>in> range>(>5>,>int>(math.sqrt(n))>+>1>,>6>):> >if> n>%> i>=>=> 0> or> n>%> (i>+> 2>)>=>=> 0>:> >return> 'false'> > >return> 'true'> > if> __name__>=>=> '__main__'>:> >print>(is_prime(>11>))> 

>

>

C#




// C# program to check whether a number> using> System;> class> GFG {> > >// Function check whether a number> >// is prime or not> >public> static> bool> isPrime(>int> n)> >> > >// Driver Code> >public> static> void> Main(String[] args)> >{> >if> (isPrime(11)) {> >Console.WriteLine(>'true'>);> >}> >else> {> >Console.WriteLine(>'false'>);> >}> >}> }> > // This code is contributed by Abhijeet> // Kumar(abhijeet_19403)> 

>

>

Javascript




// A school method based JS program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> n % (i + 2) == 0)> >return> false>;> > >return> true>;> > > // Driver Code> isPrime(11) ? console.log(>'true'>) : console.log(>'false'>);> > > // This code is contributed by phasing17> 

>

>

Výkon 

true>

Časová zložitosť: O(sqrt(n))
Pomocný priestor: O(1)

Efektívne riešenia

  • Test primality | Sada 1 (Úvod a školská metóda)
  • Test primality | Sada 2 (Metóda Fermat)
  • Test primality | Sada 3 (Miller – Rabin)
  • Test primality | Súprava 4 (Solovay-Strassen)
  • Lucasov test primality

Algoritmy na nájdenie všetkých prvočísel menších ako N.

  • Eratosthenove sito
  • Eratosthenove sito v 0(n) časovej zložitosti
  • Segmentované sito
  • Sito zo Sundaramu
  • Bitové sito
  • Najnovšie články o Sieve!

Ďalšie problémy súvisiace s prvočíslom

  • Nájdite dve odlišné prvočísla s a daný produkt
  • Vytlačte všetky prvočísla menšie alebo rovné N
  • Rekurzívny program pre prvočíslo
  • Nájdite dve prvočísla s a daná suma
  • Nájdite najvyššiu číslicu v prvočíslach v rozsahu
  • Primárna faktorizácia pomocou Sieve O (log n) pre viaceré dotazy
  • Program na tlač všetkých prvočísel daného čísla
  • Najmenší prvočiniteľ čísel do n
  • Hlavné faktory LCM prvkov poľa – techcodeview.com
  • Program pre Goldbachovu hypotézu
  • Prvočísla a Fibonacciho
  • Zložené číslo
  • Najnovšie články o prvočíslach!