integrácia je proces sčítania malých hodnôt funkcie v oblasti limitov. Je to pravý opak diferenciácie. Integrácia je známa aj ako anti-deriváta. V tomto článku nižšie sme vysvetlili integráciu goniometrických funkcií.

Nižšie je uvedený príklad integrácie danej funkcie.

napr. Uvažujme funkciu, f(y) = y².

Táto funkcia môže byť integrovaná ako:

∫y²ty =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Avšak, an neurčitý integrál je funkcia, ktorá preberá anti-deriváciu inej funkcie. Je reprezentovaný ako integrálny symbol (∫), funkcia a derivácia funkcie na konci. Neurčitý integrál je jednoduchší spôsob, ako symbolizovať anti-derivát.

Poďme sa naučiť, čo je integrácia matematicky, integrácia funkcie f(x) je daná F(x) a je reprezentovaná:

∫f(x)dx = F(x) + C

Tu R.H.S. rovnice znamená integrál f(x) vzhľadom na x, F(x) sa nazýva anti-derivačný alebo primitívny, f(x) sa nazýva integrand, dx sa nazýva integračný činiteľ, C sa nazýva integračná konštanta alebo ľubovoľná konštanta a x je premenná integrácie.

Niektoré dôležité integrály goniometrických funkcií

Nasleduje zoznam niektorých dôležitých vzorcov neurčitých integrálov na základe goniometrické funkcie treba pamätať takto:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = hriech x + C
• ∫ sek²x dx = tan x + C
• ∫ kosec²x dx = - detská postieľka x + C
• ∫ sek x tan x dx = sek x + C
• ∫ cosec x postieľka x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sek x | +C
• ∫ detská postieľka x dx = ln | hriech x | + C
• ∫ sek x dx = ln | sek x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – detská postieľka x | + C

Kde dx je derivácia x, C je integračná konštanta a ln predstavuje logaritmus funkcie vo vnútri modulu (| |).

Vo všeobecnosti sa úlohy neurčitých integrálov na základe goniometrických funkcií riešia substitučnou metódou. Poďme teda diskutovať viac o integrácii substitučnou metódou takto:

Integrácia substitúciou

Pri tejto metóde integrácia substitúciou , ktorýkoľvek daný integrál sa transformuje na jednoduchú formu integrálu nahradením nezávislej premennej inými. Pozrime sa na príklad pre lepšie pochopenie.

Príklad: Zjednodušte ∫ 3x ² hriech (x ³ ) dx.

odpoveď:

Nech I = ∫ 3x²hriech (x³) dx.

Aby sme vyhodnotili daný integrál, nahraďme akúkoľvek premennú novou premennou ako:

Nech x³byť t pre daný integrál.

Potom dt = 3x²dx

preto

I = ∫ 3x²hriech (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Teraz nahraďte t za x³a dt pre 3x²dx vo vyššie uvedenom integráli.

I = ∫ sin (t) (dt)

zákony ekvivalencie

Ako ∫ sin x dx = -cos x + C, teda

I = -cos t + C

Opäť dosaďte späť x³pre t vo výraze ako:

I = ∫ 3x ² hriech (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Čo je požadovaný integrál.

Všeobecná forma integrácie substitúciou je teda:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

kde t = g(x)

Metóda integrácie substitúciou je zvyčajne mimoriadne užitočná, keď vykonáme substitúciu za funkciu, ktorej derivácia je tiež prítomná v integrande. Tým sa funkcia zjednoduší a potom možno použiť základné vzorce integrácie na integráciu funkcie.

V kalkule je integrácia substitučnou metódou známa aj ako pravidlo reverzného reťazca alebo U-substitučná metóda. Túto metódu môžeme použiť na nájdenie integrálnej hodnoty, keď je nastavená v špeciálnom formulári. To znamená, že daný integrál má tvar:

Čítaj viac,

• Počet v matematike
• Integrály
• Integrálny počet
• Diferenciácia spúšťacích funkcií
• Goniometrické rovnice

Vzorové úlohy integrácie goniometrických funkcií

Úloha 1: Určte integrál nasledujúcej funkcie: f(x) = cos ³ X.

Riešenie:

Uvažujme integrál danej funkcie ako,

aká je veľkosť obrazovky môjho monitora

I = ∫ cos³x dx

Dá sa prepísať ako:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Používanie identity trigonometrie; cos²x = 1 – hriech²x, dostaneme

I = ∫ (cos x) (1 – hriech²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Ako ∫ cos x dx = sin x + C,

Teda I = hriech x – ∫ hriech²x cos x dx . . . (1)

Nech, hriech x = t

⇒ cos x dx = dt.

Dosaďte t za sin x a dt za cos x dx v druhom člene vyššie uvedeného integrálu.

I = hriech x – ∫ t²dt

⇒ I = hriech x – t³/3 + C

Opäť dosaďte vo výraze späť sin x za t.

Preto ∫ cos ³ x dx = hriech x – hriech ³ x / 3 + C.

Úloha 2: Ak f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) potom určte ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Riešenie:

Uvažujme integrál danej funkcie ako,

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

Používanie identity trigonometrie; cos²x = 1 – hriech²x, dostaneme

I = ∫sin²x (1 – hriech²x) čos x dx

Nech teda hriech x = t,

⇒ dt = cos x dx

Nahraďte ich do vyššie uvedeného integrálu ako,

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Dosaďte späť hodnotu t vo vyššie uvedenom integráli ako,

Preto ja = hriech ³ x / 3 – bez ⁵ x / 5 + C.

Úloha 3: Nech f(x) = sin ⁴ (x) potom nájdite ∫ f(x)dx. teda ∫ hriech ⁴ (x) dx.

Riešenie:

Uvažujme integrál danej funkcie ako,

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (bez²(X))²dx

Používanie identity trigonometrie; hriech²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, dostaneme

vek salman khan

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + hriech 4x / 8 – hriech 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + hriech 4x / 32 – hriech 2x / 4 + C

Preto ∫ hriech ⁴ (x) dx = 3x / 8 + hriech 4x / 32 – hriech 2x / 4 + C

Problém 4: Nájdite integráciu old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Riešenie:

Uvažujme integrál danej funkcie ako,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Nech t = tan^-1X . . . (1)

Teraz rozlišujte obe strany vzhľadom na x:

dt = 1/ (1+x²) dx

Daný integrál teda bude:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C . . . (2)

sql poradie podľa dátumu

Nahraďte hodnotu (1) v (2) takto:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Čo je požadovaná integrácia pre danú funkciu.

Úloha 5: Nájdite integrál funkcie f (x) definovanej ako,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Riešenie:

Uvažujme integrál danej funkcie ako,

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Nechajte (x²– 5) = t . . . (1)

Teraz rozlišujte obe strany vzhľadom na x ako,

2x dx = dt

Nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného integrálu,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Dosaďte hodnotovú rovnicu (1) do rovnice (2) takto:

⇒ I = hriech (x²– 5) + C

Toto je potrebná integrácia pre danú funkciu.

Úloha 6: Určte hodnotu daného neurčitého integrálu, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Riešenie:

Daný integrál možno zapísať ako,

I = ∫ postieľka (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / hriech (3x +5) dx

Nech, t = hriech (3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

teda

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Nahraďte t sin (3x+5) vo vyššie uvedenom výraze.

I = (1 / 3) ln | hriech (3x+5) | + C

Toto je potrebná integrácia pre danú funkciu.

Integrácia goniometrických funkcií – často kladené otázky

Čo je integrácia goniometrickej funkcie?

Integrácia goniometrických funkcií, ako naznačuje názov, je proces výpočtu integrácie alebo primitívnej derivácie goniometrických funkcií. Ide o opačný proces diferenciácie goniometrických funkcií.

Čo sú základné goniometrické funkcie?

Základné goniometrické funkcie sú:

príkaz arp

• sínus (bez),
• kosínus (cos),
• dotyčnica (tangen),
• kotangens (lakť),
• secans (sec) a
• kosekant (csc).

Ako integrujete funkcie sínus (hriech) a kosínus (cos)?

Na integráciu funkcií sínus a kosínus môžeme použiť nasledujúce vzorce:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Kde C je integračná konštanta.

Aká je integrácia tangentovej (tan) goniometrickej funkcie?

Integrál funkcie dotyčnice je daný takto:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Kde,

• ln predstavuje prirodzený logaritmus a
• C je integračná konštanta.

Ako nájsť integrál sekantovej (sec) goniometrickej funkcie?

Integrál funkcie sekansu je daný ako:

∫ sek(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Kde,

• ln predstavuje prirodzený logaritmus a
• C je integračná konštanta.

Čo je integrácia kotangens (cot) trigonometrickej funkcie?

Integrál funkcie kotangens možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

∫ detská postieľka(x) dx = ln|sin(x)| + C

Kde,

• ln predstavuje prirodzený logaritmus a
• C je integračná konštanta.

Ako nájsť integrál funkcie Cosecant (cosec)?

Integrál funkcie kosekans je daný ako:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – detská postieľka x | + C

Kde,

• ln predstavuje prirodzený logaritmus a
• C je integračná konštanta.