Predpokladajme, že existujú dva vzorce, X a Y. Tieto vzorce budú známe ako ekvivalencia, ak X ↔ Y je tautológia. Ak sú dve formuly X ↔ Y tautológia, môžeme ju napísať aj ako X ⇔ Y a tento vzťah môžeme čítať ako X je ekvivalent Y.

Poznámka: Existuje niekoľko bodov, ktoré by sme mali mať na pamäti pri lineárnej ekvivalencii vzorca, ktoré sú opísané nasledovne:

• ⇔ sa používa len na označenie symbolu, ale nie je spájací.
• Pravdivostná hodnota X a Y bude vždy rovnaká, ak X ↔ Y je tautológia.
• Vzťah ekvivalencie obsahuje dve vlastnosti, t. j. symetrickú a tranzitívnu.

Metóda 1: Metóda pravdivostnej tabuľky:

V tejto metóde zostrojíme pravdivostné tabuľky ľubovoľného vzorca s dvoma výrokmi a potom skontrolujeme, či sú tieto výroky ekvivalentné.

Príklad 1: V tomto príklade musíme dokázať X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Riešenie: Pravdivostná tabuľka X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) je opísaná takto:

Ako vidíme, X ∨ Y a ¬(¬X ∧ ¬Y) je tautológia. Preto X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Príklad 2: V tomto príklade musíme dokázať (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Riešenie: Pravdivostná tabuľka (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) je opísaná takto:

Ako vidíme, X → Y a (¬X ∨ Y) sú tautológia. Preto (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Vzorec ekvivalencie:

Existujú rôzne zákony, ktoré sa používajú na preukázanie vzorca ekvivalencie, ktorý je opísaný takto:

Idempotentný zákon: Ak existuje jeden vzorec príkazu, potom bude mať nasledujúce vlastnosti:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Asociačné právo: Ak existujú tri vzorce príkazov, bude mať nasledujúce vlastnosti:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Komutatívny zákon: Ak existujú dva vzorce príkazov, bude mať nasledujúce vlastnosti:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Distribučné právo: Ak existujú tri vzorce príkazov, bude mať nasledujúce vlastnosti:

Sharwanand

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Zákon o identite: Ak existuje jeden vzorec príkazu, potom bude mať nasledujúce vlastnosti:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Doplnkový zákon: Ak existuje jeden vzorec príkazu, potom bude mať nasledujúce vlastnosti:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorpčný zákon: Ak existujú dva vzorce príkazov, bude mať nasledujúce vlastnosti:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Z Morganovho zákona: Ak existujú dva vzorce príkazov, bude mať nasledujúce vlastnosti:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Metóda 2: Proces výmeny

V tejto metóde budeme predpokladať vzorec A : X → (Y → Z). Vzorec Y → Z môže byť známy ako časť vzorca. Ak nahradíme túto časť vzorca, t.j. Y → Z, pomocou vzorca ekvivalencie ¬Y ∨ Z v A, dostaneme iný vzorec, t. j. B : X → (¬Y ∨ Z). Je to jednoduchý proces, ako si overiť, či sú dané vzorce A a B navzájom ekvivalentné alebo nie. Pomocou procesu výmeny môžeme získať B z A.

Príklad 1: V tomto príklade musíme dokázať, že {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Riešenie: Tu vezmeme ľavú bočnú časť a pokúsime sa získať pravú bočnú časť.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Teraz použijeme asociačný zákon takto:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Teraz použijeme De Morganov zákon takto:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Preto dokázané

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Príklad 2: V tomto príklade musíme dokázať, že {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Riešenie: Tu vezmeme ľavú bočnú časť a pokúsime sa získať pravú bočnú časť.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Preto dokázané

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Príklad 3: V tomto príklade musíme dokázať, že X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Riešenie: Tu vezmeme ľavú bočnú časť a pokúsime sa získať pravú bočnú časť.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Preto dokázané

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Príklad 4: V tomto príklade musíme dokázať, že (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Riešenie: Tu vezmeme ľavú bočnú časť a pokúsime sa získať pravú bočnú časť.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Teraz použijeme asociatívne a distribučné zákony takto:

zaujatosť a rozptyl

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Teraz použijeme De Morganov zákon takto:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Teraz použijeme distribučný zákon takto:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Preto dokázané

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Príklad 5: V tomto príklade musíme ukázať, že ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) je tautológia.

Riešenie: Tu vezmeme malé časti a vyriešime ich.

Najprv použijeme De Morganov zákon a získame nasledovné:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

preto

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Tiež

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Preto

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Teda

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Môžeme teda povedať, že daný vzorec je tautológia.

Príklad 6: V tomto príklade musíme ukázať, že (X ∧ Y) → (X ∨ Y) je tautológia.

Riešenie: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Teraz použijeme De Morganov zákon takto:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Teraz použijeme asociatívny zákon a komutatívny zákon takto:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Teraz použijeme negačný zákon takto:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Môžeme teda povedať, že daný vzorec je tautológia.

Príklad 7: V tomto príklade musíme napísať negáciu niektorých tvrdení, ktoré sú opísané nasledovne:

1. Marry si dokončí vzdelanie alebo prijme vstupný list spoločnosti XYZ.
2. Harry si zajtra pôjde zajazdiť alebo zabehať.
3. Ak dostanem dobré známky, môj bratranec bude žiarliť.

Riešenie: Najprv vyriešime prvé tvrdenie takto:

1. Predpokladajme, že X: Marry dokončí vzdelanie.

Y: Prijmite vstupný list spoločnosti XYZ.

Na vyjadrenie tohto tvrdenia môžeme použiť nasledujúcu symbolickú formu:

 X ∨ Y 

Negácia X ∨ Y je opísaná takto:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Na záver, negácia daného tvrdenia bude:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Predpokladajme, že X: Harry pôjde na jazdu

Y: Harry zajtra pobeží

Na vyjadrenie tohto tvrdenia môžeme použiť nasledujúcu symbolickú formu:

 X ∨ Y 

Negácia X ∨ Y je opísaná takto:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Na záver, negácia daného tvrdenia bude:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Predpokladajme, že X: Ak dostanem dobré známky.

Y: Môj bratranec bude žiarliť.

Na vyjadrenie tohto tvrdenia môžeme použiť nasledujúcu symbolickú formu:

 X → Y 

Negácia X → Y je opísaná takto:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Na záver, negácia daného tvrdenia bude:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Príklad 8: V tomto príklade musíme napísať negáciu niektorých výrokov pomocou De Morganovho zákona. Tieto vyhlásenia sú opísané nasledovne:

1. Potrebujem sadu diamantov v hodnote zlatého prsteňa.
2. Získate dobrú prácu alebo nedostanete dobrého partnera.
3. Beriem veľa práce a nezvládam to.
4. Môj pes ide na výlet alebo robí neporiadok v dome.

Riešenie: Negácia všetkých tvrdení pomocou De Morganovho zákona je opísaná jeden po druhom takto:

1. Nepotrebujem diamantový set ani nestojím za zlatý prsteň.
2. Nemôžete získať dobrú prácu a získate dobrého partnera.
3. Neberiem veľa práce alebo to zvládnem.
4. Môj pes nechodí na výlet a nerobí neporiadok v dome.

Príklad 9: V tomto príklade máme niekoľko výrokov a musíme napísať negáciu týchto výrokov. Vyhlásenia sú opísané takto:

1. Ak prší, plán ísť na pláž sa ruší.
2. Ak sa budem tvrdo učiť, budem mať dobré známky na skúške.
3. Ak pôjdem na večernú párty, dostanem od otca trest.
4. Ak so mnou nechceš hovoriť, musíš zablokovať moje číslo.

Riešenie: Negácia všetkých tvrdení je opísaná jeden po druhom takto:

1. Ak sa zruší plán ísť na pláž, tak prší.
2. Ak mám na skúške dobré známky, potom sa tvrdo učím.
3. Ak dostanem od otca trest, pôjdem na večernú párty.
4. Ak si musíš zablokovať moje číslo, tak sa so mnou nechceš rozprávať.

Príklad 10: V tomto príklade musíme skontrolovať, či (X → Y) → Z a X → (Y → Z) sú logicky ekvivalentné alebo nie. Našu odpoveď musíme zdôvodniť pomocou pravdivostných tabuliek a pomocou pravidiel logiky, aby sme oba výrazy zjednodušili.

Riešenie: Najprv použijeme metódu 1 na kontrolu, či (X → Y) → Z a X → (Y → Z) sú logicky ekvivalentné, čo je opísané nasledovne:

previesť z char na int java

Metóda 1: Tu budeme predpokladať nasledovné:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

A

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Metóda 2: Teraz použijeme druhú metódu. V tejto metóde použijeme pravdivostnú tabuľku.

V tejto pravdivostnej tabuľke môžeme vidieť, že stĺpce (X → Y) → Z a X → (Y → Z) neobsahujú rovnaké hodnoty.